Análisis Matemático (72) · Unidad 4 — Derivadas
La derivada por definición
La derivada en x₀ es el límite del cociente incremental: la pendiente de la secante cuando el segundo punto se pega al primero. Es la pendiente de la recta tangente y, en Economía, la razón instantánea de cambio: cuánto está creciendo algo justo en ese momento.
La explicación
Razón promedio: la pendiente de una secante
Si una magnitud depende de otra —el costo de la cantidad producida, los suscriptores del tiempo—, lo primero que uno puede medir es cuánto cambió en promedio entre dos valores. Entre x0 y x0 + h:
A ese cociente se lo llama cociente incremental. En el gráfico es la pendiente de la recta secante que une (x0, f(x0)) con (x0 + h, f(x0 + h)). Si un costo pasa de $ 200 a $ 280 cuando la producción sube de 16 a 40 unidades, la razón promedio es 80/24 ≈ 3,33 pesos por unidad: un promedio de todo el tramo, que no dice qué pasa justo en 16.
Razón instantánea: la derivada
Para saber qué pasa en x0 se achica h. El segundo punto se desliza hacia el primero y la secante gira hasta apoyarse en uno solo: la recta tangente. El número al que tiende la pendiente es la derivada:
Si ese límite existe y es un número, f es derivable en x0. Tiene tres lecturas, y las tres son la misma cuenta:
- geométrica: la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa x0;
- física: si f es una posición en función del tiempo, la velocidad en ese instante;
- económica: la razón instantánea de cambio. Si C′(16) = 4, en 16 unidades el costo está creciendo a razón de $ 4 por unidad. Es lo que en la unidad se va a llamar costo marginal.
Por qué siempre aparece 0/0, y qué hacer
Al reemplazar h = 0 en el cociente siempre queda 0/0: arriba f(x0) − f(x0), abajo 0. No es un error, es la señal de que hay que simplificar la h antes de tomar el límite. Cómo se simplifica depende de la función:
2. Escribí f(x0 + h): reemplazá x por (x0 + h), con paréntesis.
3. Restá f(x0). Todo lo que no tiene h se tiene que cancelar: si no se cancela, hay una cuenta mal.
4. Dejá una h de factor común arriba, según el caso:
· lineal o polinomio: desarrollá y sacá factor común h;
· raíz: multiplicá arriba y abajo por el conjugado, √(…) + √(…);
· fracción: restá con denominador común.
5. Simplificá la h con la del denominador y recién ahí hacé h → 0.
Los cuatro casos que se piden, con la cuenta que queda después de simplificar:
f = x² + c: el cociente es 2x0 + h → 2x0
f = √x: (√(x0+h) − √x0)/h = 1/(√(x0+h) + √x0)
f = 1/x: [x0 − (x0+h)]/[x0(x0+h)h] = −1/[x0(x0+h)]
En la raíz, el conjugado sirve porque (√A − √B)(√A + √B) = A − B: la resta de raíces se vuelve una resta común, y de ahí sale la h. En la fracción, restar con denominador común hace que la h aparezca arriba sola.
Un ejemplo en contexto
Una yerbatera estima que el costo de producir x toneladas es C(x) = 40√(x + 9) (en miles de pesos). Por definición, en x0 = 16: C(16) = 40·5 = 200 y C(16 + h) = 40√(25 + h). Con el conjugado,
= 40/(√(25+h) + 5) → 40/10 = 4
O sea C′(16) = 4: con 16 toneladas, el costo está creciendo a razón de 4 mil pesos por tonelada. El promedio de 16 a 40 era 3,33; el instantáneo es mayor porque la raíz crece cada vez más despacio y al principio del tramo sube más rápido.
El control que conviene hacer siempre
Con la calculadora, el cociente incremental con h = 0,001 tiene que dar casi lo mismo que tu derivada: [C(16,001) − C(16)]/0,001 ≈ 3,99996 ✔. Y el signo tiene que coincidir con el dibujo: si la función baja en x0, la derivada es negativa.
Usando la definición, calcular f′(4) para f(x) = 5/(x + 1), y decir si f está creciendo o decreciendo en x = 4.
Planteo: hay que armar el cociente incremental en x0 = 4 y tomar el límite para h → 0. Primero las dos imágenes:
La resta, con denominador común:
= −h/(5 + h)
El 5 se canceló, como tenía que pasar: lo que no tiene h se va siempre en esta resta.
El cociente incremental: dividir por h es multiplicar el denominador por h, y la h de arriba se simplifica.
El límite: ahora sí se puede reemplazar h = 0, porque ya no hay nada que se anule abajo.
La lectura: la derivada es negativa, así que en x = 4 la función está decreciendo: por cada unidad que aumenta x cerca de 4, f baja aproximadamente 0,2.
Control numérico: f(4,001) = 5/5,001 ≈ 0,99980; [f(4,001) − f(4)]/0,001 ≈ −0,19996 ✔, casi −0,2.
Dónde se pierde el punto: escribir 5/(5 + h) − 5/5 = 5/h «restando denominadores». Las fracciones se restan con denominador común; si no, la h no se simplifica nunca y el límite parece no existir.
Una plataforma tiene S(t) = 3t² + 2t miles de suscriptores a los t meses de su lanzamiento. a) Calcular la razón promedio de crecimiento entre t = 2 y t = 5. b) Usando la definición, calcular la razón instantánea en t = 2. c) Explicar por qué los dos números son distintos.
a) Promedio: S(2) = 12 + 4 = 16 y S(5) = 75 + 10 = 85. La razón promedio es la pendiente de la secante:
b) Instantánea, por definición: S(2 + h) = 3(2 + h)² + 2(2 + h), con el cuadrado desarrollado:
S(2 + h) − S(2) = 14h + 3h²
(14h + 3h²)/h = 14 + 3h → 14
S′(2) = 14: en el segundo mes la plataforma está sumando suscriptores a razón de 14 mil por mes.
c) Por qué no coinciden: S es una parábola que se empina, así que su pendiente crece con t. El promedio de 2 a 5 mezcla meses lentos con meses rápidos y da más que la velocidad del mes 2. La secante y la tangente son rectas distintas.
Control: por la regla, S′(t) = 6t + 2 y S′(2) = 14 ✔. Y la pendiente de la secante, 23, es la de la tangente en el medio del tramo: S′(3,5) = 23 (en una parábola eso pasa siempre).
Dónde se cae la mayoría
- Reemplazar h = 0 antes de simplificar y concluir que la derivada no existe porque da 0/0: el 0/0 es la señal de que falta simplificar.
- Escribir f(x₀ + h) como f(x₀) + h. Hay que reemplazar x por (x₀ + h) adentro de la fórmula, con paréntesis, y desarrollar.
- Con una raíz, intentar «distribuir» la raíz: √(25 + h) no es 5 + √h. Se usa el conjugado.
- Con una fracción, restar los denominadores en vez de sacar denominador común: la h nunca termina de aparecer.
- Confundir la razón promedio en un tramo con la razón instantánea en un punto: son dos pendientes distintas (secante y tangente).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar La derivada por definición →Los otros temas de la unidad 4
Derivadas
- 4.2 Reglas de derivación y regla de la cadena
- 4.3 Derivada logarítmica: f(x)^g(x)
- 4.4 Recta tangente: ecuación y condiciones
- 4.5 Funciones marginales
- 4.6 Elasticidad de la demanda
- 4.7 Crecimiento, decrecimiento y extremos locales
- 4.8 Ingreso y ganancia máximos
- 4.9 Estudio completo de funciones y extremos absolutos
- 4.10 Concavidad y puntos de inflexión