Análisis Matemático (72) · Unidad 4 — Derivadas

Ingreso y ganancia máximos

Para maximizar el ingreso se deriva I(x) = x·D(x); para maximizar la ganancia, G(x) = I(x) − C(x). Se busca el crítico en el dominio económico, se confirma que es un máximo, y se contesta en el contexto: cuántas unidades, a qué precio y cuánto se gana. En la ganancia máxima, el ingreso marginal es igual al costo marginal.

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La explicación

El problema, en palabras

Una empresa elige cuánto producir. Si produce poco, no aprovecha el mercado; si produce mucho, tiene que bajar tanto el precio (o le cuesta tanto producir) que termina ganando menos. En algún punto intermedio la ganancia es máxima, y ése es un problema de extremos: se resuelve con la derivada.

Las funciones que se optimizan

ingreso: I(x) = x·D(x)
ganancia: G(x) = I(x) − C(x)

Si el precio es fijo (la empresa vende a p por unidad, venda lo que venda), el ingreso es I(x) = p·x. Si la demanda baja con la cantidad, hay que usar p = D(x). El dominio económico es el que tiene sentido: x ≥ 0 y precio D(x) ≥ 0; a veces el enunciado lo da.

El procedimiento

1. Armá la función a optimizar (I o G) con la variable x, y fijá el dominio económico.
2. Derivá e igualá a 0. Quedate con las soluciones del dominio.
3. Confirmá que es un máximo: que G′ pase de + a − (probando un valor a cada lado), o que G″(x*) < 0. Si hay dos críticos, uno puede ser un mínimo.
4. Contestá lo que se pregunta, con unidades: la cantidad x*, el precio D(x*) y el valor máximo I(x*) o G(x*).

Un ejemplo corto: con demanda D(x) = 100 − x y costo C(x) = 20x + 700, la ganancia es G(x) = 100x − x² − 20x − 700 = −x² + 80x − 700. G′(x) = −2x + 80 = 0 da x* = 40, y G″ = −2 < 0 confirma el máximo: con 40 unidades, a $ 60 cada una, se ganan G(40) = $ 900. Además G = 0 en x = 10 y x = 70: por debajo de 10 y por encima de 70 unidades la empresa pierde plata.

La lectura marginal: I′ = C′

Como G′ = I′ − C′, en el máximo de la ganancia

G′(x*) = 0 ⇔ I′(x*) = C′(x*)

Tiene una lectura económica muy clara: mientras la unidad siguiente haga entrar más de lo que cuesta (I′ > C′), conviene producirla; cuando cuesta más de lo que hace entrar (I′ < C′), ya no. El óptimo está justo donde se igualan. En el gráfico, las tangentes a I y a C en x* son paralelas, y la distancia vertical entre las dos curvas es la más grande.

El ingreso máximo tiene su propia lectura: I′(x*) = 0, y por 4.6 eso pasa donde la elasticidad es unitaria. Pero ojo: el ingreso máximo y la ganancia máxima no están en la misma cantidad, salvo que el costo no dependa de x. Con costo marginal positivo, la ganancia máxima pide producir menos que el ingreso máximo.

Qué se contesta

Un ejercicio de optimización no termina en «x = 40». Termina en «hay que vender 40 unidades por semana, a $ 60 cada una, y se ganan $ 900». Muchas veces se pide el precio, y ése sale de la demanda: D(x*), no la derivada ni el ingreso.

El control que conviene hacer siempre

Evaluá la función en x* y en dos cantidades vecinas: G(39) = 899 y G(41) = 899, los dos por debajo de G(40) = 900 ✔. Y verificá I′(x*) = C′(x*): I′(40) = 100 − 80 = 20 y C′(40) = 20 ✔.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Una fábrica de muebles vende x sillas por semana al precio p = D(x) = 180 − 2x (en miles de pesos), y producirlas le cuesta C(x) = x² + 30x + 400. ¿Cuántas sillas le conviene producir para que la ganancia sea máxima, a qué precio las vende y cuánto gana?

1. La ganancia:

I(x) = x·(180 − 2x) = 180x − 2x²
G(x) = 180x − 2x² − x² − 30x − 400
= −3x² + 150x − 400

El dominio económico es 0 ≤ x ≤ 90 (hasta ahí el precio es positivo).

2. El crítico: G′(x) = −6x + 150 = 0 ⇔ x = 25.

3. Es un máximo: G″(x) = −6 < 0. (O con el signo: G′(24) = 6 > 0 y G′(26) = −6 < 0.)

4. La respuesta:

precio: D(25) = 180 − 50 = 130
ganancia: G(25) = −1875 + 3750 − 400 = 1475

Le conviene producir 25 sillas por semana, venderlas a 130 mil pesos cada una, y gana 1475 mil pesos (casi un millón y medio).

Control marginal: I′(x) = 180 − 4x y C′(x) = 2x + 30. En 25, I′ = 80 y C′ = 80: iguales ✔. Y G(24) = 1472 y G(26) = 1472, los dos debajo de 1475 ✔.

Comparación con el ingreso máximo: I′ = 0 en x = 45. La ganancia máxima pide producir bastante menos (25), porque cada silla extra cuesta cada vez más.

Dónde se pierde el punto: contestar «x = 25» y nada más, o dar como precio I′(25) = 80, o calcular la ganancia olvidándose del costo fijo (daría 1875).

Y uno del nivel del parcial

Una revista digital consigue x miles de suscriptores si cobra p = D(x) = 400/(x + 10) (en miles de pesos por año), y atenderlos le cuesta C(x) = 10x + 60 millones de pesos por año. Hallar la cantidad de suscriptores que maximiza la ganancia, la cuota y la ganancia máxima.

1. La ganancia:

I(x) = 400x/(x + 10)
G(x) = 400x/(x + 10) − 10x − 60

2. La derivada. El ingreso es un cociente:

I′(x) = [400(x + 10) − 400x]/(x + 10)² = 4000/(x + 10)²
G′(x) = 4000/(x + 10)² − 10

3. El crítico: 4000/(x + 10)² = 10 ⇔ (x + 10)² = 400 ⇔ x + 10 = 20 (la raíz negativa daría x < 0). Entonces x = 10.

4. Es un máximo: G′ es decreciente (el denominador crece), así que pasa de positiva a negativa en 10: G′(0) = 30 > 0 y G′(30) = −7,5 < 0.

5. La respuesta:

cuota: D(10) = 400/20 = 20
ganancia: G(10) = 200 − 100 − 60 = 40

Conviene tener 10 mil suscriptores, con una cuota de 20 mil pesos por año, y la ganancia es de 40 millones de pesos por año (x está en miles y p en miles de pesos, así que I y G quedan en millones).

Control: I′(10) = 4000/400 = 10 = C′ ✔. G(9) ≈ 39,47 y G(11) ≈ 39,52, los dos por debajo de 40 ✔.

Dónde se cae la mayoría

Maximizar la demanda D(x) o el precio en vez del ingreso x·D(x).
Contestar sólo la cantidad x* cuando piden el precio o la ganancia: el precio es D(x*) y la ganancia, G(x*).
No confirmar que el crítico es un máximo: con un costo cúbico, uno de los dos críticos es un mínimo de la ganancia.
Creer que el ingreso máximo y la ganancia máxima están en la misma cantidad: la ganancia resta el costo y el óptimo se corre.
Olvidarse del costo fijo al calcular la ganancia máxima: no cambia x*, pero sí cuánto se gana.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Segundo parcial — La almazara: marginal, elasticidad y ganancia máxima20 puntos · resuelto paso a paso

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