Análisis Matemático (72) · Unidad 4 — Derivadas

Crecimiento, decrecimiento y extremos locales

Donde f′ es positiva, f crece; donde es negativa, decrece. Los candidatos a máximo o mínimo son los puntos críticos —donde f′ se anula o no existe—, y cada uno se decide mirando si f′ cambia de signo alrededor.

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La explicación

El signo de la derivada dice cómo va la función

La derivada es la pendiente de la tangente: si en todo un intervalo las tangentes suben, la función sube. Lo que lo garantiza es el teorema del valor medio de Lagrange: si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), hay algún c entre a y b con

f ′(c) = [ f(b) − f(a) ] / (b − a)

En palabras: en algún punto la tangente es paralela a la secante. Entonces, si f ′ > 0 en todo el intervalo, cualquier secante tiene pendiente positiva y f(b) > f(a) siempre que b > a. De ahí la regla:

f ′ > 0 en un intervalo ⇒ f es creciente ahí
f ′ < 0 en un intervalo ⇒ f es decreciente ahí

Los puntos críticos y el teorema de Fermat

El teorema de Fermat dice que si f tiene un máximo o un mínimo local en c y es derivable en c, entonces f ′(c) = 0: en la cima de una loma suave la tangente es horizontal. Por eso los candidatos a extremo son los puntos críticos: los x del dominio donde

f ′(x) = 0 (tangente horizontal), o
f ′(x) no existe (un pico, como el de |x| en 0, o una tangente vertical, como la de ∛x en 0).

Un punto crítico es un candidato, no un extremo seguro. f(x) = x³ tiene f ′(0) = 0, pero crece a los dos lados: la tangente es horizontal y la función sigue de largo.

Cómo se decide: el cambio de signo

f ′: + → − en c ⇒ máximo local en c
f ′: − → + en c ⇒ mínimo local en c
sin cambio de signo ⇒ no hay extremo

1. El dominio primero. Con ln, raíces o denominadores, los críticos y los intervalos se buscan sólo ahí.
2. Derivá y factorizá f ′ todo lo que puedas (sacá factor común las exponenciales, que nunca se anulan).
3. Los críticos: los ceros de f ′ y los puntos del dominio donde f ′ no existe.
4. Partí el dominio con los críticos (y con los puntos que no están en el dominio) y elegí un valor de prueba en cada intervalo para ver el signo de f ′.
5. Leé: dónde crece, dónde decrece, y qué es cada crítico. Los valores de los extremos son f(c), no f ′(c).

Un ejemplo corto: f(x) = x³ − 27x + 10 tiene f ′(x) = 3(x² − 9), que se anula en −3 y 3. Probando f ′(−4) = 21 > 0, f ′(0) = −27 < 0 y f ′(4) = 21 > 0: crece en (−∞, −3), decrece en (−3, 3) y crece en (3, +∞). Hay un máximo local en x = −3 (vale 64) y un mínimo local en x = 3 (vale −44).

Leer un gráfico, en los dos sentidos

Del gráfico de f al de f ′: donde f sube, f ′ es positiva; en las lomas y los valles suaves, f ′ = 0; en un pico o en una asíntota vertical, f ′ no existe.

Del gráfico de f ′ al de f: se mira el signo de f ′, no si sube o baja. Donde el gráfico de f ′ está por arriba del eje x, f crece; donde cruza el eje de arriba hacia abajo, f tiene un máximo; donde cruza de abajo hacia arriba, un mínimo; donde lo toca sin cruzarlo, no hay extremo.

Un parámetro desde un extremo

Si dicen que f tiene un extremo en x = c (y f es derivable ahí), por Fermat f ′(c) = 0: esa ecuación despeja el parámetro. Después hay que volver a mirar el signo, porque f ′(c) = 0 no asegura que sea extremo.

El control que conviene hacer siempre

Evaluá f en el crítico y en dos puntos cercanos, uno a cada lado: en un máximo, los dos vecinos dan menos. Y fijate que los intervalos de crecimiento y decrecimiento, juntos, cubran todo el dominio (menos los críticos).

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea f(x) = (x² − 2x − 2)·eˣ. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales.

1. Dominio: todo ℝ (un polinomio por una exponencial).

2. La derivada, con la regla del producto, y eˣ de factor común:

f ′(x) = (2x − 2)·eˣ + (x² − 2x − 2)·eˣ
= eˣ·(x² − 4) = eˣ·(x − 2)(x + 2)

3. Los críticos: eˣ nunca se anula, así que f ′ = 0 sólo en x = −2 y x = 2. No hay puntos donde f ′ no exista.

4. El signo: el signo de f ′ es el de (x − 2)(x + 2), porque eˣ > 0.

x = −3: (−5)(−1) > 0 → crece
x = 0: (−2)(2) < 0 → decrece
x = 3: (1)(5) > 0 → crece

5. La lectura: f crece en (−∞, −2) ∪ (2, +∞) y decrece en (−2, 2). En x = −2, f ′ pasa de + a −: máximo local, f(−2) = (4 + 4 − 2)e⁻² = 6e⁻² ≈ 0,81. En x = 2 pasa de − a +: mínimo local, f(2) = (4 − 4 − 2)e² = −2e² ≈ −14,78.

Control: f(−2,1) ≈ 0,809 y f(−1,9) ≈ 0,809, los dos un poco menos que 0,812 ✔.

Dónde se pierde el punto: derivar el producto como (2x − 2)·eˣ solo, o dar como valor del máximo f ′(−2) = 0.

Y uno del nivel del parcial

Sea f(x) = ln(x)/x². Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales.

1. Dominio: ln x pide x > 0, y el denominador x² no se anula ahí: Dom(f) = (0, +∞).

2. La derivada, con la regla del cociente:

f ′(x) = [(1/x)·x² − ln x·2x] / x⁴
= x(1 − 2 ln x)/x⁴ = (1 − 2 ln x)/x³

3. Los críticos: 1 − 2 ln x = 0 ⇔ ln x = 1/2 ⇔ x = e^1/2 = √e ≈ 1,65. El x = 0 anularía el denominador, pero no está en el dominio.

4. El signo: en (0, +∞) el denominador x³ es positivo, así que manda 1 − 2 ln x.

x = 1: 1 − 0 > 0 → crece
x = e: 1 − 2 < 0 → decrece

5. La lectura: f crece en (0, √e) y decrece en (√e, +∞). En √e hay un máximo local:

f(√e) = (1/2)/e = 1/(2e) ≈ 0,184

Control: f(1,6) ≈ 0,1836 y f(1,7) ≈ 0,1836, los dos por debajo de 0,1839 ✔.

Dónde se pierde el punto: estudiar el signo en (−∞, 0) también, como si x negativo estuviera en el dominio. Con un logaritmo, el dominio va primero.

Dónde se cae la mayoría

Buscar críticos fuera del dominio: con ln x, un «crítico» negativo no cuenta, porque ahí no hay función.
Creer que f′(c) = 0 ya es un extremo: hay que ver que f′ cambie de signo (x³ en 0 no lo hace).
Olvidarse de los puntos donde f′ no existe, como el de ∛x en 0: también son críticos.
Dar como valor del extremo f′(c), que es 0, en vez de f(c).
Leer el gráfico de f′ como si fuera el de f: lo que importa es su signo, no si sube o baja.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Segundo parcial — La derivada de x^(1/x) y su imagen15 puntos · resuelto paso a paso

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