Análisis Matemático (72) · Unidad 4 — Derivadas
Recta tangente: ecuación y condiciones
La recta tangente en x₀ pasa por (x₀, f(x₀)) con pendiente f′(x₀): y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀). Casi todos los ejercicios son esa fórmula leída al revés: te dan la pendiente, una recta paralela o la tangente entera, y hay que encontrar el punto o los parámetros.
La explicación
La ecuación
Una recta queda determinada por un punto y una pendiente. Para la tangente al gráfico de f en el punto de abscisa x0, el punto es (x0, f(x0)) y la pendiente es la derivada:
Hacen falta dos números, f(x0) y f ′(x0), y los dos se calculan en el mismo x0. Si después se quiere la forma y = mx + b, se distribuye: m = f ′(x0) y b = f(x0) − f ′(x0)·x0. b no es f(x0): la ordenada al origen es la altura de la recta en x = 0, no en x0.
2. Derivá y calculá f ′(x0): la pendiente.
3. Armá y = f ′(x0)(x − x0) + f(x0) y, si lo piden, distribuí.
4. Controlá: en x = x0 la recta tiene que dar f(x0).
Si f ′(x0) = 0 la tangente es horizontal: y = f(x0).
Para qué sirve: aproximar
Cerca de x0 la curva y su tangente casi no se separan. Por eso la recta sirve para estimar valores de f sin calcularlos: f(x0 + Δ) ≈ f(x0) + f ′(x0)·Δ. Con f(x) = ex−2·(x² − 3), que en x0 = 2 tiene tangente y = 5x − 9, la recta estima f(2,1) ≈ 1,5, y el valor exacto es 1,558. Es la misma idea que va a usar la unidad para el costo marginal: la derivada anticipa cuánto cambia la función por una unidad más.
Los ejercicios al revés
1. Te dan la pendiente y hay que hallar el punto. Se resuelve la ecuación f ′(x) = m. Pero ojo: cada solución tiene que estar en el dominio de f. Si f tiene un ln x, sólo sirven las soluciones positivas; si en un candidato no hay gráfico, tampoco hay tangente.
2. Te piden que la tangente sea paralela a una recta. Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. «Paralela a y = 3x + 2» quiere decir f ′(x0) = 3, y la ordenada de la recta dada no importa. Si f tiene un parámetro k, la ecuación f ′(x0) = 3 lo despeja.
3. Te dan la tangente entera. «La tangente es y = 2x + 1» son dos condiciones: la pendiente (f ′(x0) = 2) y que el punto esté sobre la recta (f(x0) = 2x0 + 1). Con la primera salen los candidatos; con la segunda se filtran. Es común que la pendiente dé dos x y sólo uno caiga sobre la recta: en el otro la tangente es paralela a la dada, pero es otra recta.
4. Hay dos parámetros, a y b. Se plantean las dos condiciones —el punto y la pendiente— y se resuelve el sistema de dos ecuaciones. Por ejemplo, para que la tangente a f(x) = a·x² + b·x en x0 = 1 sea y = 5x − 2:
f ′(x) = 2a·x + b → f ′(1) = 2a + b = 5
Restando, a = 2; y entonces b = 1.
En los cuatro casos la fórmula es la misma: sólo cambia qué es dato y qué es incógnita.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá x0 en la recta: tiene que dar f(x0). Y compará la pendiente con un cociente incremental numérico, [f(x0 + 0,001) − f(x0)]/0,001. Si te dieron la recta como dato, chequeá las dos condiciones con los valores que encontraste.
Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f(x) = e^(x − 2)·(x² − 3) en el punto de abscisa x₀ = 2.
1. El punto: f(2) = e0·(4 − 3) = 1. La tangente pasa por (2, 1).
2. La pendiente. Es un producto, y en el primer factor hay una cadena (la derivada de x − 2 es 1, así que no cambia nada):
= ex−2·(x² + 2x − 3)
3. La recta:
y = 5x − 9
4. Control: en x = 2 la recta da 10 − 9 = 1 = f(2) ✔. Y con la calculadora, f(2,001) = e0,001·(4,004001 − 3) ≈ 1,005006, así que la pendiente numérica es ≈ 5,006 ✔.
De paso, la estimación: con la recta, f(2,1) ≈ 5·2,1 − 9 = 1,5. El valor exacto es e0,1·1,41 ≈ 1,558: la tangente se equivoca en menos de 0,06 a una décima del punto.
Dónde se pierde el punto: escribir y = 5x + 1, con la altura del punto como ordenada al origen. La recta y = 5x + 1 pasa por (0, 1), no por (2, 1): en x = 2 daría 11.
Hallar a y b para que la recta tangente al gráfico de f(x) = a√x + b/x en el punto de abscisa x₀ = 4 sea y = x/4 + 4.
Planteo: «la tangente es y = x/4 + 4» son dos condiciones. La pendiente de la tangente tiene que ser 1/4, y el punto de tangencia tiene que estar sobre la recta, o sea f(4) = 4/4 + 4 = 5.
La condición del punto:
La condición de la pendiente: f(x) = a·x1/2 + b·x−1, así que
f ′(4) = a/4 − b/16 = 1/4 → 4a − b = 4
El sistema: sumando las dos ecuaciones, 12a = 24, a = 2; y de 4a − b = 4, b = 4.
Control: con a = 2 y b = 4, f(x) = 2√x + 4/x. f(4) = 4 + 1 = 5 ✔ y f ′(4) = 2/4 − 4/16 = 1/4 ✔. La recta y = (x − 4)/4 + 5 es justo x/4 + 4 ✔.
Dónde se pierde el punto: usar sólo la condición de la pendiente. Con una ecuación y dos letras hay infinitas soluciones: la del punto es la que fija cuál.
Dónde se cae la mayoría
- Usar f(x₀) como ordenada al origen: la tangente pasa por (x₀, f(x₀)), no por (0, f(x₀)).
- Evaluar la pendiente en f en vez de en f′, o la altura en f′ en vez de en f.
- Quedarse con todas las soluciones de f′(x) = m sin chequear que estén en el dominio de f.
- Con la tangente dada, pedir sólo la pendiente y olvidarse de que el punto también tiene que estar sobre la recta.
- Creer que «paralela a y = 3x + 2» obliga a que la tangente tenga ordenada 2: paralela es sólo igual pendiente.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Recta tangente: ecuación y condiciones →Los otros temas de la unidad 4
Derivadas
- 4.1 La derivada por definición
- 4.2 Reglas de derivación y regla de la cadena
- 4.3 Derivada logarítmica: f(x)^g(x)
- 4.5 Funciones marginales
- 4.6 Elasticidad de la demanda
- 4.7 Crecimiento, decrecimiento y extremos locales
- 4.8 Ingreso y ganancia máximos
- 4.9 Estudio completo de funciones y extremos absolutos
- 4.10 Concavidad y puntos de inflexión