Análisis Matemático (72) · Unidad 4 — Derivadas
Reglas de derivación y regla de la cadena
La definición se hace una vez por cada función básica y queda una tabla; con ella y cuatro reglas (suma, producto, cociente y cadena) se deriva cualquier fórmula. La cadena es la que más se usa: se deriva la capa de afuera, se deja intacto lo de adentro, y se multiplica por la derivada de lo de adentro.
La explicación
La tabla: la definición hecha una vez
Cada renglón de la tabla es el límite del cociente incremental calculado una sola vez, para siempre. Lo que conviene saber de memoria:
(ex)′ = ex · (ln x)′ = 1/x
(sen x)′ = cos x · (cos x)′ = −sen x
La de la potencia vale para cualquier exponente, entero o no, positivo o negativo, siempre que primero escribas todo como potencia de x:
4/x² = 4x−2 → −8x−3 = −8/x³
1/√x = x−1/2 → −(1/2)·x−3/2
Los números sueltos —π, e², ln 5— son constantes: su derivada es 0. La e sola no es eˣ.
Suma, producto y cociente
(f·g)′ = f ′·g + f·g′
(f/g)′ = (f ′·g − f·g′) / g²
La suma se deriva término a término; el producto y el cociente no: (f·g)′ no es f ′·g′. Del cociente se olvidan dos cosas: que arriba hay una resta —y el orden importa, primero la derivada del de arriba— y que el denominador va al cuadrado. Si el denominador es un monomio (como en (x² + 3)/x), conviene repartirlo antes: x + 3x−1 se deriva sin la regla del cociente.
La regla de la cadena
Una función compuesta tiene capas: en h(x) = √(x² + 5), la de adentro es u = x² + 5 y la de afuera es √u. La regla dice:
En palabras: se deriva la de afuera dejando intacto lo de adentro, y se multiplica por la derivada de lo de adentro. Para √(x² + 5): la de afuera da 1/(2√(x² + 5)) y la de adentro 2x, así que h′(x) = x/√(x² + 5).
Con la tabla y la cadena salen las versiones «generales» que más se usan:
(eu)′ = eu·u′ · (ln u)′ = u′/u
(sen u)′ = cos u · u′ · (cos u)′ = −sen u · u′
Si hay tres capas, como en ln(1 + e3x)², se multiplican tres derivadas, de afuera hacia adentro: 2·ln(1 + e3x) · [1/(1 + e3x)] · 3e3x.
La derivada de una composición en un punto
Cuando piden (g∘f)′(x0), la cadena se lee así:
La g′ se evalúa en f(x0), no en x0. Es el error más común: con f(x) = 2x − 1 y x0 = 3, la g′ va en f(3) = 5.
2. Reescribí raíces y denominadores monomios como potencias.
3. Si hay una composición, marcá la capa de adentro u y calculá u′ aparte.
4. Derivá y recién después reemplazá el punto, siempre en la derivada.
5. Para (g∘f)′(x0): primero f(x0) y f ′(x0), después g′ en f(x0).
Una derivada escrita de otra forma igual está bien: la app compara por valor. Lo que no se puede es cambiar la regla.
El control que conviene hacer siempre
El cociente incremental numérico: [h(x0 + 0,001) − h(x0)]/0,001 tiene que parecerse a h′(x0). Con h(x) = √(x² + 5) en 2: h(2,001) ≈ 3,000667 y h(2) = 3, así que la pendiente es ≈ 0,667, y la fórmula da 2/3 ✔. Si la cadena se olvidó de lo de adentro, el control lo delata enseguida.
Calcular f′(1) para f(x) = (2x² − 1)⁵ y g′(0) para g(x) = √(1 + e^(3x)).
Planteo: las dos son composiciones. En f la capa de afuera es una potencia quinta; en g, una raíz, y adentro de la raíz hay otra composición (e3x).
La derivada de f: u = 2x² − 1, u′ = 4x.
f ′(1) = 20·1·14 = 20
La derivada de g: la de afuera es √u, con u = 1 + e3x; y u′ = 3e3x (otra cadena, porque el exponente es 3x).
g′(0) = 3·1/(2√2) = 3/(2√2) = 3√2/4 ≈ 1,06
Control numérico: g(0) = √2 ≈ 1,414214 y g(0,001) ≈ 1,415275, así que la pendiente es ≈ 1,061 ✔. Para f: f(1,001) = (1,004002)5 ≈ 1,02017, y (1,02017 − 1)/0,001 ≈ 20,2 ✔.
Dónde se pierde el punto: en f, escribir 5(2x² − 1)4 y parar: falta el 4x de adentro, y el resultado da 5 en vez de 20. En g, derivar e3x como e3x, sin el 3.
Sean f(x) = 2x − 1 y g(x) = x/(x² + 3). a) Hallar g′(x). b) Calcular (g∘f)′(1) con la regla de la cadena. c) Controlar el resultado con un cociente incremental.
a) La derivada de g, con la regla del cociente:
= (3 − x²)/(x² + 3)²
b) La cadena en el punto. Primero lo de adentro: f(1) = 1 y f ′(x) = 2, así que f ′(1) = 2. Después la de afuera, en f(1):
(g∘f)′(1) = g′(1)·f ′(1) = (1/8)·2 = 1/4
Acá f(1) = 1 coincide con el punto, así que evaluar g′ en 1 no se nota. En x0 = 2 sí: f(2) = 3, g′(3) = −6/144 = −1/24 y (g∘f)′(2) = −1/12. Si se evaluara g′ en 2 daría g′(2)·2 = −2/49, que es otro número.
c) Control: (g∘f)(x) = (2x − 1)/((2x − 1)² + 3). En 1 vale 1/4 = 0,25 y en 1,001 vale ≈ 0,2502495: la pendiente es ≈ 0,2495 ✔, casi 1/4.
Dónde se pierde el punto: olvidarse del factor f ′(1) = 2 y contestar 1/8. La cadena siempre multiplica por la derivada de lo de adentro, también cuando se trabaja con números.
Dónde se cae la mayoría
- Derivar un producto multiplicando las derivadas: (f·g)′ = f ′·g + f·g′, con dos términos.
- En el cociente, restar al revés o no elevar al cuadrado el denominador.
- Olvidarse de multiplicar por la derivada de lo de adentro en la cadena: (√(x³ + 8))′ no es 1/(2√(x³ + 8)).
- Evaluar g′ en x₀ en vez de en f(x₀) al calcular (g∘f)′(x₀).
- Derivar una constante como e² o ln 5 como si dependiera de x: su derivada es 0.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Reglas de derivación y regla de la cadena →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — La almazara: marginal, elasticidad y ganancia máxima20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 4
Derivadas
- 4.1 La derivada por definición
- 4.3 Derivada logarítmica: f(x)^g(x)
- 4.4 Recta tangente: ecuación y condiciones
- 4.5 Funciones marginales
- 4.6 Elasticidad de la demanda
- 4.7 Crecimiento, decrecimiento y extremos locales
- 4.8 Ingreso y ganancia máximos
- 4.9 Estudio completo de funciones y extremos absolutos
- 4.10 Concavidad y puntos de inflexión