Análisis Matemático (72) · Unidad 4 — Derivadas

Estudio completo de funciones y extremos absolutos

Estudiar una función es juntar todo en orden: dominio, asíntotas, derivada, crecimiento y extremos. Con eso se dibuja un gráfico aproximado, y del gráfico sale la imagen. En un intervalo cerrado, los extremos absolutos se buscan comparando los críticos de adentro con los dos bordes.

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La explicación

El estudio, en orden

Cada herramienta de la materia contesta una pregunta sobre la forma del gráfico. Juntas, en este orden, alcanzan para dibujarlo sin tabla de valores:

1. Dominio. Denominadores que se anulan, raíces pares de negativos, logaritmos de cosas ≤ 0.
2. Asíntotas verticales. En cada borde del dominio que no está en él, el límite lateral: si es ±∞, hay asíntota x = a.
3. Asíntotas horizontales. Los límites en +∞ y en −∞ (pueden ser distintos, o existir sólo de un lado).
4. Derivada. Críticos (f ′ = 0 o no existe) y el signo de f ′ en cada intervalo: crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos locales con sus valores.
5. Gráfico aproximado. Se juntan las flechas de crecimiento, los extremos y el comportamiento cerca de las asíntotas.
6. Imagen. Se lee del gráfico: qué alturas alcanza la curva.

La imagen sale del gráfico, no de una cuenta

La imagen es el conjunto de valores que toma f. Una vez que se sabe dónde crece, dónde decrece, cuánto valen los extremos y a qué tiende en las puntas, se recorre cada tramo del dominio y se anota qué alturas cubre. Tres detalles:

Un valor al que f tiende sin alcanzarlo (una asíntota horizontal) va con paréntesis: si f se acerca a 3 por arriba sin llegar, el tramo aporta (3, +∞).
Un extremo que se alcanza va con corchete: si el máximo local vale 1/3 y se alcanza, el tramo aporta (−∞, 1/3].
Cuando el dominio tiene varios pedazos, cada uno aporta su parte y la imagen es la unión.

Un estudio completo, resumido

Para f(x) = (3x² − 3)/(x² − 9): el dominio es ℝ − {−3, 3}; hay asíntotas verticales en x = −3 y x = 3 (el numerador vale 24 ahí), y horizontal y = 3 en los dos lados. La derivada es f ′(x) = −48x/(x² − 9)²: positiva para x < 0 y negativa para x > 0 (salvo en ±3). Hay un máximo local en x = 0 con f(0) = 1/3. Entre −3 y 3 la curva sube desde −∞, llega a 1/3 y vuelve a bajar a −∞; afuera, f − 3 = 24/(x² − 9) > 0, así que está por arriba de la asíntota. La imagen es (−∞, 1/3] ∪ (3, +∞).

Extremos absolutos en un intervalo cerrado

Un extremo local compara f(c) con los valores cercanos; uno absoluto en [a, b], con todos los valores del intervalo. Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], siempre alcanza un máximo y un mínimo absolutos, y sólo pueden estar en dos clases de lugares: en los críticos de adentro o en los bordes.

1. Hallá los críticos de f y quedate con los que están dentro de (a, b).
2. Evaluá f en esos críticos y en a y en b.
3. El mayor de esos números es el máximo absoluto; el menor, el mínimo absoluto. No hace falta estudiar signos.

Lo más común es olvidarse de los bordes: un máximo local puede no ser el absoluto, porque en un borde la función puede estar más alta. Y un crítico que cae fuera del intervalo no se evalúa.

El control que conviene hacer siempre

El dibujo tiene que ser coherente con todo lo calculado: si hay una asíntota horizontal y = 3 y la curva está «por arriba», los valores grandes de x tienen que dar un poco más de 3 (f(10) = 297/91 ≈ 3,26 ✔). Y en un intervalo cerrado, probá un par de valores sueltos: ninguno puede superar el máximo absoluto que encontraste.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Estudiar f(x) = (x² + 5)/(x − 2): dominio, asíntotas verticales y horizontales, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos locales e imagen.

1. Dominio: x ≠ 2, o sea ℝ − {2}.

2. Asíntota vertical: en x = 2 el numerador vale 9 y el denominador tiende a 0: lím_x→2⁺ f = +∞ y lím_x→2⁻ f = −∞. Hay asíntota x = 2.

3. Horizontales: el grado de arriba es mayor que el de abajo, así que f → +∞ en +∞ y f → −∞ en −∞: no hay.

4. La derivada:

f ′(x) = [2x(x − 2) − (x² + 5)]/(x − 2)²
= (x² − 4x − 5)/(x − 2)² = (x − 5)(x + 1)/(x − 2)²

Críticos: x = −1 y x = 5 (el 2 no está en el dominio). El denominador es un cuadrado, así que manda (x − 5)(x + 1):

(−∞, −1): + crece · (−1, 2): − decrece
(2, 5): − decrece · (5, +∞): + crece

Máximo local en x = −1: f(−1) = 6/(−3) = −2. Mínimo local en x = 5: f(5) = 30/3 = 10.

5. El gráfico: a la izquierda de la asíntota la curva sube desde −∞ hasta −2 y vuelve a bajar a −∞ al acercarse a 2; a la derecha baja desde +∞ hasta 10 y vuelve a subir a +∞.

6. Imagen: el pedazo izquierdo cubre (−∞, −2] y el derecho [10, +∞):

Im(f) = (−∞, −2] ∪ [10, +∞)

Control: f(0) = −2,5 y f(3) = 14: los dos caen en la imagen. Y ningún x da un valor entre −2 y 10: por ejemplo, f(x) = 4 llevaría a x² − 4x + 13 = 0, que no tiene raíces reales ✔.

Y uno del nivel del parcial

Hallar los extremos absolutos de f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 en el intervalo [0, 5]: el valor máximo y el mínimo, y en qué puntos se alcanzan. ¿El máximo local es también absoluto?

1. Los críticos: f ′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3), que se anula en x = 1 y x = 3. Los dos están dentro de (0, 5).

2. Los valores: en los críticos y en los bordes.

f(0) = 1 · f(1) = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
f(5) = 125 − 150 + 45 + 1 = 21

3. La comparación: el mayor es 21 y el menor es 1.

máximo absoluto: 21, en x = 5 (un borde)
mínimo absoluto: 1, en x = 0 y en x = 3

El máximo local de x = 1 (vale 5) no es el absoluto: la función vuelve a subir después de 3 y en el borde derecho llega más alto. Y el mínimo absoluto se alcanza en dos lugares, un borde y un crítico.

Dónde se pierde el punto: contestar «máximo absoluto 5, en x = 1» por no evaluar el borde. En un intervalo cerrado, los bordes siempre entran en la comparación.

Dónde se cae la mayoría

Olvidarse de evaluar los bordes del intervalo al buscar extremos absolutos: el máximo absoluto puede estar en un borde.
Evaluar un crítico que cae fuera del intervalo [a, b]: no cuenta.
Escribir con corchete un valor que f no alcanza, como el de una asíntota horizontal: va con paréntesis.
Dar como imagen un solo intervalo cuando el dominio tiene dos pedazos: cada pedazo aporta su parte.
Dar como asíntota vertical un x donde el cociente es 0/0 y se simplifica: ahí hay un agujero, no una asíntota.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Segundo parcial — La derivada de x^(1/x) y su imagen15 puntos · resuelto paso a paso

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