Análisis Matemático (72) · Unidad 4 — Derivadas

Elasticidad de la demanda

La elasticidad η = |D(x)/(x·D′(x))| dice cuánto cambia, en porcentaje, la cantidad demandada cuando el precio cambia un 1 %. Si η > 1 la demanda es elástica (la gente reacciona mucho), si η < 1 es inelástica, y si η = 1, unitaria. Y eso decide si subir el precio hace entrar más plata o menos.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

La pregunta que contesta

Si una tostadora sube el precio del kilo de café un 1 %, ¿cuánto baja lo que vende? Si baja un 3 %, la clientela es muy sensible al precio; si baja un 0,5 %, casi no se entera. La derivada no contesta eso bien, porque depende de las unidades (pesos, kilos, docenas). Lo que se compara son cambios porcentuales, que no tienen unidades.

La definición, y de dónde sale

Con la convención de la materia, la demanda da el precio: p = D(x). Si la cantidad cambia en Δx, el precio cambia en Δp ≈ D′(x)·Δx. El cociente de los cambios porcentuales es

(Δx/x) / (Δp/p) = p / (x·Δp/Δx)
≈ D(x) / (x·D′(x))

Como la demanda es decreciente, D′ < 0 y ese cociente es negativo. Para quedarse sólo con el tamaño de la reacción se toma el valor absoluto:

η = | D(x) / (x·D′(x)) |

A η se lo llama coeficiente de elasticidad puntual: se calcula en un punto x de la curva, y en general cambia de un punto a otro.

La clasificación

η > 1: demanda elástica
η = 1: demanda unitaria
η < 1: demanda inelástica

«η = 4» quiere decir: si el precio sube un 1 %, la cantidad demandada baja alrededor de un 4 %. «η = 0,4»: baja un 0,4 %. Los productos con muchos sustitutos (una marca de galletitas) suelen ser elásticos; los que la gente necesita sí o sí, inelásticos.

Para qué le sirve a quien fija el precio

El ingreso marginal se puede escribir con η. Como I′ = D + x·D′ y x·D′/D = −1/η,

I′(x) = D(x)·(1 − 1/η)

Si la demanda es elástica (η > 1), I′ > 0: vender más —o sea, bajar el precio— aumenta el ingreso. Subirlo espanta a más clientes de los que compensa.
Si es inelástica (η < 1), I′ < 0: conviene vender menos y subir el precio: la gente casi no deja de comprar y cada venta deja más.
Si es unitaria, I′ = 0: ahí el ingreso es máximo (4.8 lo vuelve a encontrar).

La demanda lineal: la elasticidad cambia a lo largo de la recta

Aunque la recta tenga siempre la misma pendiente, la elasticidad no es constante. Con D(x) = 200 − 4x:

η = (200 − 4x)/(4x) = (50 − x)/x

Es elástica para x < 25 (pocas unidades, precio alto), unitaria en x = 25 —justo la mitad del tramo en que la demanda es positiva— e inelástica para x > 25. En cambio, una demanda potencia como D(x) = k/xⁿ tiene elasticidad constante 1/n.

1. Derivá la demanda: D′(x).
2. Armá el cociente D(x)/(x·D′(x)) y simplificalo si podés: muchas veces queda una expresión chica en x.
3. Evaluá en el punto y tomá valor absoluto.
4. Clasificá comparando con 1. Para los puntos de elasticidad unitaria, resolvé η(x) = 1 y quedate con los x del dominio económico (x > 0, D(x) > 0).

El control que conviene hacer siempre

El experimento del 1 %, con la calculadora: cambiá x en un 0,1 % y mirá cuánto cambia el precio. Con D(x) = 200 − 4x en x = 20: D(20) = 120 y D(20,02) = 119,92, un cambio de −0,0667 %. El cociente 0,1/0,0667 ≈ 1,5 coincide con η(20) = 30/20 = 1,5 ✔. Y η nunca es negativa: si te dio negativa, te faltó el valor absoluto.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Una tostadora vende x kilos de café por semana al precio p = D(x) = 200 − 4x (en miles de pesos por kilo). Calcular la elasticidad para 20 y para 30 kilos, clasificarla, hallar dónde es unitaria y decir, en cada caso, si conviene subir o bajar el precio para aumentar el ingreso.

La elasticidad como función: D′(x) = −4.

η(x) = | (200 − 4x) / (x·(−4)) |
= (200 − 4x)/(4x) = (50 − x)/x

(Para 0 < x < 50 el numerador es positivo, así que el valor absoluto sólo saca el signo menos.)

En x = 20: η = 30/20 = 3/2 > 1, elástica. Si el precio sube un 1 %, las ventas bajan un 1,5 %. Conviene bajar el precio: se venden más kilos y entra más plata.

En x = 30: η = 20/30 = 2/3 < 1, inelástica. Si el precio sube un 1 %, las ventas bajan sólo un 0,67 %. Conviene subir el precio.

Unitaria: (50 − x)/x = 1 da x = 25, con precio D(25) = 100. Es la mitad del tramo 0 < x < 50, como en toda demanda lineal.

Control con el ingreso: I(x) = 200x − 4x², I′(x) = 200 − 8x. I′(20) = 40 > 0 (vender más suma), I′(30) = −40 < 0 (vender más resta) e I′(25) = 0 ✔: coincide con lo que dijo η en cada punto.

Dónde se pierde el punto: calcular 20·(−4)/120 = −2/3 (el cociente dado vuelta y sin módulo) y clasificar como inelástica una demanda que en x = 20 es elástica.

Y uno del nivel del parcial

Una plataforma de suscripciones estima que, para tener x miles de suscriptores, la cuota tiene que ser p = D(x) = 3600/(x + 10)² (en miles de pesos). Hallar η(x), el punto de elasticidad unitaria y los tramos en que la demanda es elástica e inelástica.

La derivada: D(x) = 3600·(x + 10)⁻², así que D′(x) = −7200·(x + 10)⁻³.

El cociente:

D/(x·D′) = [3600/(x + 10)²] / [−7200x/(x + 10)³]
= −(x + 10)/(2x)

η(x) = (x + 10)/(2x)

Unitaria: (x + 10)/(2x) = 1 ⇔ x + 10 = 2x ⇔ x = 10 (10 mil suscriptores, cuota D(10) = 3600/400 = 9).

Los tramos: η(x) > 1 ⇔ x + 10 > 2x ⇔ x < 10. Así que es elástica en (0, 10) e inelástica en (10, +∞). Por ejemplo, η(20) = 30/40 = 3/4.

La lectura: con menos de 10 mil suscriptores (cuota alta), bajar la cuota sube el ingreso; con más de 10 mil, conviene subirla. El ingreso I(x) = 3600x/(x + 10)² es máximo en x = 10: I′(x) = 3600(10 − x)/(x + 10)³ se anula justo ahí ✔.

Control numérico en x = 20: D(20) = 4 y D(20,02) ≈ 3,99467, un cambio de −0,1333 % para un cambio de +0,1 % en la cantidad; 0,1/0,1333 = 0,75 ✔.

Dónde se cae la mayoría

Olvidarse del valor absoluto y dar η negativa: la demanda baja, así que D/(x·D′) siempre es negativo.
Dar vuelta el cociente y calcular x·D′/D: eso es −1/η, y clasifica al revés.
Olvidarse de la x del denominador y calcular D/D′.
Creer que una demanda lineal tiene elasticidad constante porque tiene pendiente constante: η cambia a lo largo de la recta.
Leer al revés la decisión de precios: con demanda inelástica conviene SUBIR el precio, no bajarlo.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar Elasticidad de la demanda →

Dónde entra este tema en el parcial

Segundo parcial — La almazara: marginal, elasticidad y ganancia máxima20 puntos · resuelto paso a paso

Los otros temas de la unidad 4

Derivadas

Ver todos los temas de Análisis (72)