Análisis Matemático (72) · Unidad 4 — Derivadas
Funciones marginales
En Economía, «marginal» quiere decir «lo que pasa con una unidad más». Como la tangente casi no se separa de la curva, la derivada C′(x₀) es casi exactamente lo que cuesta producir la unidad siguiente: por eso el costo, la demanda, la oferta, el ingreso y la ganancia marginales son sus derivadas.
La explicación
Qué quiere decir «marginal»
Una empresa que ya produce 100 cajas de alfajores por día no decide si producir o no: decide si produce una caja más. Lo que le interesa es cuánto le cambia el costo, el ingreso o la ganancia por esa unidad adicional. Eso es lo «marginal»: el análisis de cómo reacciona una variable económica ante un pequeño cambio de otra de la que depende.
La cuenta exacta sería C(101) − C(100). Pero en el gráfico ese escalón de una unidad es casi igual a la subida de la recta tangente en el mismo tramo, y la tangente sube exactamente C′(100) por unidad:
Es la aproximación con la tangente de 4.4 con Δ = 1. Por eso se define el costo marginal como la derivada del costo: es más fácil de calcular que la diferencia, se puede escribir como función de x y, en las cantidades con que trabaja una empresa, difiere muy poco de la diferencia exacta.
Las cinco funciones marginales
demanda marginal: D′(x)
oferta marginal: O′(x)
ingreso marginal: I′(x), con I(x) = x·D(x)
ganancia marginal: G′(x), con G(x) = I(x) − C(x)
Cada una se lee con su unidad y con su signo:
- C′(x0) en $ por unidad: cuánto cuesta, aproximadamente, la unidad x0 + 1. Es positivo: producir más siempre cuesta más.
- D′(x0) en $ por unidad, y negativo: la demanda da el precio, y para vender una unidad más hay que bajarlo. D′ = −0,4 quiere decir que cada unidad adicional vendida exige bajar el precio unos 40 centavos.
- O′(x0), positivo: cuánto más tiene que valer el producto para que los productores ofrezcan una unidad más.
- I′(x0): cuánto aumenta el ingreso por vender una unidad más.
- G′(x0): cuánto aumenta la ganancia. Si es positiva, conviene producir una más; si es negativa, esa unidad hace perder plata.
El ingreso marginal no es el precio
Como I(x) = x·D(x) es un producto, su derivada tiene dos términos:
El primero es el precio que se cobra por la unidad nueva. El segundo es negativo: para venderla hubo que bajar el precio a todas las x unidades que ya se vendían. Por eso el ingreso marginal es menor que el precio, y puede llegar a ser negativo: vender una más, a costa de bajar el precio para todos, puede hacer entrar menos plata.
Marginal no es medio
El costo medio es C(x)/x: lo que cuesta cada unidad en promedio, incluido el reparto de los costos fijos. El costo marginal es C′(x): lo que cuesta la siguiente. Con C(x) = 0,02x² + 40x + 1200 y x = 100, el costo medio es 5400/100 = $ 54 y el marginal, C′(100) = 0,04·100 + 40 = $ 44. Son preguntas distintas: el medio dice si el negocio cubre sus costos; el marginal, si conviene producir una más.
2. Derivá con las reglas de siempre (producto para I, cadena si hay raíces o exponenciales).
3. Evaluá en la cantidad pedida.
4. Contestá con la unidad y la lectura: «producir la caja 101 cuesta alrededor de $ 44».
El control que conviene hacer siempre
La diferencia exacta de una unidad: C(x0 + 1) − C(x0) tiene que dar parecido, no igual al marginal. Con el costo de arriba, C(101) − C(100) = 44,02 contra C′(100) = 44. Si da muy distinto, la derivada está mal; si da igual, probablemente calculaste la diferencia dos veces.
Una fábrica de alfajores tiene un costo de C(x) = 0,02x² + 40x + 1200 pesos por producir x cajas por día, y la demanda es p = D(x) = 120 − 0,1x (pesos por caja). Calcular el costo, el ingreso y la ganancia marginales cuando se producen 100 cajas, e interpretarlos.
Costo marginal:
Producir la caja 101 cuesta alrededor de $ 44. Control: C(101) − C(100) = 0,02·(10 201 − 10 000) + 40 = 44,02 ✔.
Ingreso marginal: primero el ingreso, I(x) = x·D(x) = 120x − 0,1x².
Vender la caja 101 hace entrar unos $ 100 más. Fijate que el precio con 100 cajas es D(100) = $ 110: el ingreso marginal es menor, porque para vender una caja más hay que bajar un poco el precio de todas (D′(x) = −0,1: diez centavos por caja, sobre 100 cajas, son $ 10).
Ganancia marginal: G = I − C, así que G′ = I′ − C′.
La lectura: con 100 cajas diarias, producir y vender una caja más aumenta la ganancia en unos $ 56. Como G′(100) > 0, a la fábrica le conviene producir más de 100. (Hasta dónde, lo dice 4.8.)
Dónde se pierde el punto: contestar I′(100) = 110 (el precio) o calcular el costo medio C(100)/100 = 54 como si fuera el marginal.
Una editorial estima que, para vender x ejemplares de un libro, el precio tiene que ser p = D(x) = 500·e^(−x/200) pesos. a) Calcular la demanda marginal y el ingreso marginal para 100 ejemplares. b) Explicar por qué el ingreso marginal es la mitad del precio.
a) La demanda marginal, con la cadena:
D′(100) = −2,5·e−1/2 ≈ −1,52 $ por ejemplar
Para vender el ejemplar 101 hay que bajar el precio alrededor de $ 1,52.
El ingreso marginal: I(x) = 500x·e−x/200, un producto.
= 500e−x/200·(1 − x/200)
I′(100) = 250·e−1/2 ≈ 151,63 $ por ejemplar
b) La comparación con el precio: D(100) = 500e−1/2 ≈ 303,27. El ingreso marginal es I′ = D·(1 − x/200), y con x = 100 el paréntesis vale 1/2. El ejemplar 101 se vende a unos $ 303, pero hubo que bajar $ 1,52 el precio de los otros 100: 303,27 − 151,63 ≈ 151,63 ✔.
Control: I(101) − I(100) ≈ 150,50, parecido a I′(100) ≈ 151,63 ✔. Y para x > 200 el paréntesis es negativo: pasados los 200 ejemplares, vender uno más baja el ingreso.
Dónde se cae la mayoría
- Confundir el costo marginal C′(x) con el costo medio C(x)/x: uno es el costo de la unidad siguiente, el otro el promedio de todas.
- Tomar el ingreso marginal igual a la demanda (el precio): I′ = D + x·D′, y el segundo término resta.
- Derivar I(x) = x·D(x) como 1·D′(x): es un producto y lleva dos términos.
- Olvidarse del signo de la demanda marginal: D′ es negativa, porque para vender más hay que bajar el precio.
- Contestar un número suelto: la marginal se lee con su unidad ($ por unidad) y en el contexto.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Funciones marginales →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — La almazara: marginal, elasticidad y ganancia máxima20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 4
Derivadas
- 4.1 La derivada por definición
- 4.2 Reglas de derivación y regla de la cadena
- 4.3 Derivada logarítmica: f(x)^g(x)
- 4.4 Recta tangente: ecuación y condiciones
- 4.6 Elasticidad de la demanda
- 4.7 Crecimiento, decrecimiento y extremos locales
- 4.8 Ingreso y ganancia máximos
- 4.9 Estudio completo de funciones y extremos absolutos
- 4.10 Concavidad y puntos de inflexión