Análisis Matemático (72) · Unidad 3 — Límite y continuidad

Bolzano: ceros y conjuntos de positividad y negatividad

Una función continua no puede pasar de negativa a positiva sin tocar el cero. Por eso, entre dos ceros consecutivos (y entre los puntos donde deja de estar definida) su signo no cambia, y alcanza con probar un valor en cada tramo. La misma idea, partiendo el intervalo al medio una y otra vez, sirve para aproximar un cero que no se puede despejar.

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La explicación

El teorema de Bolzano

f continua en [a, b] y
f(a), f(b) de signos opuestos
⟹ hay un c en (a, b) con f(c) = 0

Es lo que dice el dibujo: para ir de abajo del eje a arriba sin levantar el lápiz, hay que cruzarlo. La hipótesis de continuidad no es decorativa: 1/x vale −1 en x = −1 y 1 en x = 1, y no tiene ningún cero en el medio, porque en x = 0 no está definida y ahí «salta» de un signo al otro.

La consecuencia que se usa todo el tiempo

Dada la vuelta, el teorema dice: una función continua sólo puede cambiar de signo en un cero. Entonces, si se marcan en la recta los ceros de f y los puntos donde no está definida, en cada tramo que queda el signo es uno solo, y alcanza con probar un valor cualquiera de adentro.

El procedimiento:
1. Dominio (denominadores, logaritmos, raíces pares).
2. Ceros: los x del dominio donde f vale 0.
3. Marcá en la recta los ceros y los bordes del dominio: la cortan en intervalos.
4. En cada intervalo, un valor de prueba y su signo.
5. Conjunto de positividad: la unión de los intervalos con +; de negatividad, con −. Los ceros no van en ninguno.

Atajos para no hacer cuentas de más

Un factor siempre positivo (x² + 5, eˣ, una raíz fuera de su cero) no cambia el signo: se puede ignorar.
Un factor al cuadrado, (x + 1)², se anula pero no cambia de signo: el signo es el mismo a los dos lados de ese cero. Es donde más se equivoca la alternancia «+, −, +».
e^g(x) − 1 vale 0 si g(x) = 0 y es positivo si g(x) > 0, porque eˣ > 1 sólo cuando x > 0.
ln(h(x)) vale 0 si h(x) = 1, es positivo si h(x) > 1 y negativo si 0 < h(x) < 1.

Con (x + 1)²(4 − x)/(x − 1): ceros −1 y 4, y x = 1 fuera del dominio. Probando −2, 0, 2 y 5 salen −, −, + y −: la positividad es (1, 4). En −1 el signo no cambió, justamente por el cuadrado.

Con una tabla de valores

Si se sabe que f es continua y cuáles son todos sus ceros, una tabla con un valor en cada tramo alcanza para dar el signo, sin fórmula. Si f(−5) = −4, los únicos ceros son −2 y 3, y f(0) = 6, entonces f es negativa en todo (−∞, −2) y positiva en todo (−2, 3).

Aproximar un cero: la bisección

Muchas ecuaciones no se pueden despejar. En economía pasa con los equilibrios: si la demanda de un tostador de café es p = D(q) = 40 − 3q y la oferta p = O(q) = 3 + q³/20 (q en cientos de kilos), el equilibrio pide O(q) = D(q), o sea que se anule

E(q) = O(q) − D(q) = q³/20 + 3q − 37

que es una cúbica sin raíces lindas. E(6) = −8,2 < 0 y E(7) = 1,15 > 0, y E es continua: por Bolzano hay un equilibrio entre 6 y 7. Para achicar el intervalo se prueba el punto medio y se conserva la mitad donde sigue habiendo cambio de signo:

1. E(6,5) ≈ −3,77 < 0: el cero está entre 6,5 y 7.
2. E(6,75) ≈ −1,37 < 0: entre 6,75 y 7.
3. E(6,875) ≈ −0,13 < 0: entre 6,875 y 7.

Cada paso parte el error a la mitad. Después de tres, q₀ ≈ 6,9 (cerca de 690 kilos), con un error menor que 0,125; el valor exacto anda por 6,888. Es el método que pide el programa para «aproximar raíces de ecuaciones algebraicas y trascendentes».

El control que conviene hacer siempre

Probá un valor más en cada tramo, lejos del primero: si en (4, +∞) probaste 5 y dio negativo, probá 100. Si el signo cambió, se te escapó un cero, o un factor al cuadrado te hizo alternar donde no había que alternar.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea f(x) = (x + 1)²(4 − x)/(x − 1). Dar su dominio y sus ceros, y decidir en qué intervalos es positiva y en cuáles negativa.

Dominio: ℝ − {1}.

Ceros: el numerador se anula en x = −1 y en x = 4, que están en el dominio.

Los tramos: −1, 1 y 4 cortan la recta en (−∞, −1), (−1, 1), (1, 4) y (4, +∞). Un valor de prueba en cada uno:

f(−2) = 1·6/(−3) = −2 < 0
f(0) = 1·4/(−1) = −4 < 0
f(2) = 9·2/1 = 18 > 0
f(5) = 36·(−1)/4 = −9 < 0

Positividad: (1, 4). Negatividad: (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (4, +∞).

Fijate en x = −1: f vale 0 pero es negativa de los dos lados, porque el factor (x + 1)² no cambia de signo. Y en x = 1 cambia de signo sin pasar por 0: no está definida (hay una asíntota vertical).

Control: f(100) = 10 201·(−96)/99 < 0 ✔ (mismo signo que f(5)) y f(−100) = 9801·104/(−101) < 0 ✔

Dónde se pierde el punto: alternar +, −, + en los cuatro tramos sin probar, o escribir la negatividad como (−∞, 1) ∪ (4, +∞) metiendo el cero −1 adentro.

Y uno del nivel del parcial

La demanda de un tostador de café es p = D(q) = 40 − 3q y su oferta p = O(q) = 3 + q³/20 (q en cientos de kilos, p en miles de pesos por cien kilos). a) Probar que hay un equilibrio entre q = 6 y q = 7. b) Aproximarlo con tres pasos de bisección. c) Estimar el precio de equilibrio.

a) Bolzano sobre la diferencia. E(q) = O(q) − D(q) = q³/20 + 3q − 37, que es un polinomio, continuo.

E(6) = 10,8 + 18 − 37 = −8,2 < 0
E(7) = 17,15 + 21 − 37 = 1,15 > 0

Hay un q₀ entre 6 y 7 con E(q₀) = 0, o sea O(q₀) = D(q₀): un equilibrio.

b) Bisección.

E(6,5) ≈ −3,77 → entre 6,5 y 7
E(6,75) ≈ −1,37 → entre 6,75 y 7
E(6,875) ≈ −0,13 → entre 6,875 y 7

q₀ está entre 6,875 y 7: q₀ ≈ 6,9, o sea unos 690 kilos. (El valor exacto es ≈ 6,888.)

c) El precio. p₀ = D(q₀) ≈ 40 − 3·6,888 ≈ 19,3, unos $ 19 300 los cien kilos. Control: O(6,888) = 3 + 326,8/20 ≈ 19,34 y D(6,888) ≈ 19,34 ✔

Dónde se pierde el punto: en b), quedarse con la mitad equivocada (la que no tiene cambio de signo); en c), dar q₀ como si fuera el precio.

Dónde se cae la mayoría

Aplicar Bolzano en un intervalo donde la función no es continua: puede cambiar de signo sin tener ningún cero, como 1/x entre −1 y 1.
Alternar los signos «+, −, +» de memoria: un factor al cuadrado se anula sin cambiar el signo.
Olvidarse del dominio: incluir en el conjunto de positividad puntos donde la función no está definida.
Meter los ceros adentro del conjunto de positividad o de negatividad: en un cero la función no es ni positiva ni negativa.
En e^(g(x)) − 1 o en ln(h(x)), buscar el cero donde la exponencial o el argumento valen 0, en vez de donde g = 0 o h = 1.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Pegar una exponencial con un cociente15 puntos · resuelto paso a paso

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