Análisis Matemático (72) · Unidad 3 — Límite y continuidad

Más límites en el infinito: raíces, exponenciales y «acotada por cero»

Con raíces, se saca factor común adentro y se recuerda que √(x²) = |x|, que en −∞ es −x; si quedan dos raíces restándose, se multiplica por el conjugado. Con eˣ, en +∞ se divide por eˣ y en −∞ eˣ se va a 0. Y algo acotado dividido por algo que crece, tiende a 0.

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La explicación

Raíces en un cociente: factor común adentro

Para comparar √(9x² + 5) con un polinomio, se saca la potencia más alta adentro de la raíz y se la extrae:

√(9x² + 5) = √(x²)·√(9 + 5/x²)
= |x|·√(9 + 5/x²)

El paso que más se pierde es ése: √(x²) = |x|, no x. En +∞ da lo mismo, porque x es positivo. En −∞, |x| = −x, y el signo de todo el límite cambia:

x → +∞: √(9x² + 5) ≈ 3x
x → −∞: √(9x² + 5) ≈ −3x

Con una raíz cúbica no pasa: ∛(x³) = x siempre, porque la raíz impar conserva el signo. ∛(27x³ + x) ≈ 3x de los dos lados. Y si las raíces son de índice distinto, cada una aporta su potencia: √(x⁴ + 1) se porta como x², ∛(8x³ − 1) como 2x.

«Raíz menos raíz»: el conjugado

Si quedan dos cosas que van a +∞ restándose y alguna es una raíz, es ∞ − ∞. Se multiplica y se divide por el conjugado (la misma expresión con el signo del medio cambiado), porque (√A − √B)(√A + √B) = A − B se lleva las raíces del medio:

√(x + 7) − √(x − 2)
= 9/(√(x + 7) + √(x − 2)) → 0

Da 0 porque la diferencia de adentro es fija (9) y el denominador crece. Pero si la misma resta está multiplicada por √x, el 0 y el ∞ compiten, y gana un número:

9√x/(√(x + 7) + √(x − 2))
= 9/(√(1 + 7/x) + √(1 − 2/x)) → 9/2

La otra forma típica es √(x² + bx + c) − x: con el conjugado queda (bx + c)/(√(x² + bx + c) + x), que en +∞ tiende a b/2. En −∞ no hace falta el conjugado: |x| − x = −2x → +∞, no hay indeterminación.

Exponenciales

x → +∞: eˣ → +∞ x → −∞: eˣ → 0

En un cociente como (6eˣ + 1)/(2eˣ − 5):

en +∞ es ∞/∞: se divide arriba y abajo por eˣ y queda (6 + e^−x)/(2 − 5e^−x) → 6/2 = 3;
en −∞ no hay indeterminación: eˣ → 0 y queda (0 + 1)/(0 − 5) = −1/5.

Por eso un cociente con eˣ puede tener dos asíntotas horizontales distintas, cosa que a un cociente de polinomios no le pasa. Dato que conviene tener a mano (se prueba en la unidad 5): la exponencial crece más rápido que cualquier potencia, así que x³/eˣ → 0 en +∞.

Una potencia con x en el exponente

En ((3x + 2)/(4x − 1))^x la base tiende a 3/4, que es menor que 1. Un número entre 0 y 1 elevado a algo cada vez más grande se achica: el límite en +∞ es 0. En −∞ el exponente es muy negativo, (3/4)^−∞ = (4/3)^+∞, y el límite es +∞. Si la base tendiera a 1, sería otra historia: es el caso 1^∞ del tema 3.5.

Acotada por algo que tiende a 0

sen x y cos x no tienen límite en el infinito: oscilan entre −1 y 1. Pero divididos por algo que crece, se aplastan:

−1/x ≤ cos(5x)/x ≤ 1/x ⟹ cos(5x)/x → 0

La regla: acotada por algo que tiende a 0, tiende a 0. Así, 7 + cos(5x)/x → 7. El error típico es contestar «no existe» porque el coseno oscila: oscila, pero cada vez menos.

El procedimiento:
1. Mirá qué lado piden. En −∞, marcá cada √(x²) que aparezca: ahí va un signo menos.
2. Raíz en un cociente: factor común adentro y extraer |x|, x² o x.
3. Raíz menos algo (∞ − ∞): conjugado, y después dividir por la potencia más alta.
4. Con eˣ: en +∞ dividir por eˣ; en −∞ reemplazar eˣ por 0.
5. sen o cos dividido por algo que crece: 0.

El control que conviene hacer siempre

Evaluá lejos, pero no tanto que la calculadora redondee: con x = 10⁴ el conjugado ya se nota. Si en √(x² − 5x + 2) − x te dio −5/2, con x = 10 000 tiene que salir ≈ −2,5; si te dio 0, el control te lo marca enseguida.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Calcular: a) lím x→+∞ (√(9x² + 5) + x)/(2x − 3); b) el mismo límite cuando x → −∞; c) lím x→+∞ (√(x² − 5x + 2) − x).

a) Factor común adentro de la raíz. En +∞, √(9x² + 5) = x·√(9 + 5/x²). Dividiendo todo por x:

(√(9 + 5/x²) + 1)/(2 − 3/x)
→ (3 + 1)/2 = 2

b) En −∞, √(x²) = −x. Ahora √(9x² + 5) = −x·√(9 + 5/x²), y al dividir por x el signo de la raíz cambia:

(−√(9 + 5/x²) + 1)/(2 − 3/x)
→ (−3 + 1)/2 = −1

Dos asíntotas horizontales distintas: y = 2 hacia la derecha e y = −1 hacia la izquierda. Control: en x = −1000 da (3000,0008 − 1000)/(−2003) ≈ −0,9985 ✔

c) ∞ − ∞ con raíz: el conjugado.

(x² − 5x + 2 − x²)/(√(x² − 5x + 2) + x)
= (−5x + 2)/(√(x² − 5x + 2) + x)

Dividiendo por x (positivo): (−5 + 2/x)/(√(1 − 5/x + 2/x²) + 1) → −5/2. El límite es −5/2, y la recta y = −5/2 es asíntota horizontal hacia la derecha. Control: con x = 10 000, √(99 950 002) ≈ 9997,5 y la resta da ≈ −2,5 ✔

Dónde se pierde el punto: en b), repetir el 2 de a) por usar √(x²) = x; en c), contestar 0 «porque x² − x² se cancela» sin hacer el conjugado.

Y uno del nivel del parcial

a) Hallar lím x→+∞ y lím x→−∞ de f(x) = (5e^(2x) − 1)/(e^(2x) + 3). b) Calcular lím x→+∞ [2 − sen(3x)/x]. c) Calcular lím x→+∞ ∛(27x³ + x)/(x + 4).

a) Un lado por vez. En +∞ es ∞/∞: se divide por e^2x.

(5 − e^−2x)/(1 + 3e^−2x) → 5/1 = 5

En −∞, e^2x → 0 y no hay indeterminación: (0 − 1)/(0 + 3) = −1/3. Así, f tiene y = 5 como asíntota hacia la derecha e y = −1/3 hacia la izquierda.

b) Acotada por cero. −1/x ≤ sen(3x)/x ≤ 1/x, y las dos puntas van a 0: sen(3x)/x → 0. El límite es 2. La curva cruza la recta y = 2 infinitas veces, cada vez con una ondulación más chica: se puede cruzar una asíntota.

c) Raíz cúbica. ∛(27x³ + x) = x·∛(27 + 1/x²), sin módulo (la raíz impar conserva el signo):

∛(27 + 1/x²)/(1 + 4/x) → ∛27 = 3

En −∞ daría también 3, justamente porque ∛(x³) = x.

Control: f(5) = (5e¹⁰ − 1)/(e¹⁰ + 3) ≈ 4,9993 y f(−5) ≈ −0,3333 ✔

Dónde se pierde el punto: en a), dar 5 de los dos lados o decir que en −∞ «e^2x va a −∞»; en b), contestar «no existe»; en c), ponerle un módulo a la raíz cúbica.

Dónde se cae la mayoría

Escribir √(x²) = x en −∞: es |x| = −x, y el signo de todo el límite cambia.
Contestar 0 en «raíz menos raíz» porque las dos van a infinito: es ∞ − ∞ y hace falta el conjugado.
Decir que 0·∞ da 0: en √x·(√(x + 7) − √(x − 2)) los dos compiten y el límite es un número.
Creer que eˣ va a −∞ cuando x → −∞: va a 0, y por eso un cociente con eˣ puede dar distinto de cada lado.
Contestar «no existe» en cos(5x)/x porque el coseno oscila: está acotado y dividido por x, así que tiende a 0.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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