Análisis Matemático (72) · Unidad 3 — Límite y continuidad

Continuidad y tipos de discontinuidad; el parámetro que la hace continua

f es continua en a si f(a) existe, el límite en a existe y los dos coinciden. Si el límite existe pero no coincide (o f(a) falta), la discontinuidad es evitable; si el límite no existe —un salto, un infinito—, es esencial. El parámetro que hace continua a una partida sale de igualar los laterales y el valor.

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La explicación

Las tres condiciones

La idea es la de siempre: f es continua en a si su gráfico pasa por ahí sin levantar el lápiz. Hecha precisa, son tres condiciones que hay que chequear en orden:

1. f(a) existe
2. lím_x→a f(x) existe (y es un número)
3. lím_x→a f(x) = f(a)

Si falla alguna, f es discontinua en a. Los polinomios, los cocientes (fuera de los ceros del denominador), las raíces, las exponenciales, los logaritmos, el seno y el coseno son continuos en todo su dominio, y también sus sumas, productos, cocientes y composiciones. Así que los puntos para mirar son pocos: los cortes de una partida y los bordes del dominio.

Evitable o esencial

Evitable: el límite existe (es un número L), pero f(a) no existe o vale otra cosa. Se «arregla» redefiniendo f(a) = L: el gráfico tiene un agujerito, o un punto suelto fuera de la curva.
Esencial: el límite no existe. Puede ser un salto (laterales distintos), un lateral infinito (una asíntota vertical) o una oscilación que no se acomoda. Ninguna redefinición de f(a) lo arregla.

Un salto es esencial: aunque cada lateral exista, el límite no.

Partidas: el corte

En f(x) = x² − 1 si x < 1 ; 2x + 1 si x ≥ 1, cada tramo es un polinomio, continuo. El único punto dudoso es x = 1:

lím_x→1⁻ = 1 − 1 = 0
lím_x→1⁺ = 2 + 1 = 3 = f(1)

Los laterales son distintos: el límite no existe y la discontinuidad es esencial (un salto de 3).

En economía los saltos aparecen solos: una tarifa con descuento por volumen, un impuesto que cambia de alícuota en un monto, un costo fijo que se paga al superar cierta producción. El gráfico del precio total baja o sube de golpe en el corte, y eso es una discontinuidad esencial.

Cocientes: los ceros del denominador

Ahí f no está definida (falla la condición 1), así que es discontinua. Para clasificar se calcula el límite: si es un 0/0 que se simplifica y da un número, es evitable; si es k/0, el límite es infinito y es esencial. En (x² − 4x)/(x² − 16) = x(x − 4)/((x − 4)(x + 4)), x = 4 es evitable (límite 1/2) y x = −4 esencial.

El parámetro que la hace continua

Si en el corte hay un parámetro, se piden las condiciones: el lateral izquierdo, el derecho y el valor tienen que ser iguales. Para a x² − 1 si x ≤ 2 ; 3x + a si x > 2: 4a − 1 = 6 + a, así que a = 7/3. Si un lado es un 0/0, primero se calcula su límite (factoreo, conjugado) y después se iguala.

El procedimiento:
1. Ubicá los puntos dudosos: cortes y ceros de denominadores.
2. ¿Existe f(a)? Calculalo con la fórmula que corresponde a x = a.
3. Calculá los laterales, cada uno con su fórmula.
4. Laterales iguales y = f(a): continua. Iguales pero ≠ f(a) (o f(a) no existe): evitable. Distintos o infinitos: esencial.
5. Con parámetro: igualá lo que tiene que ser igual y despejá.

Acotada por cero

(x − 3)²·cos(1/(x − 3)) no tiene fórmula cerca de 3 que se pueda reemplazar, porque 1/(x − 3) se dispara y el coseno oscila. Pero el coseno está entre −1 y 1, y (x − 3)² → 0: acotada por algo que tiende a 0, tiende a 0. Así que para que sea continua hay que definirla con valor 0 en x = 3. Si el factor de adelante no tendiera a 0 —(x − 5)·sen(2/x) en x = 0, por ejemplo—, el producto oscilaría entre −5 y 5 y no habría límite: ningún valor sirve.

El parámetro en el punto de corte

Cuando el corte mismo es el parámetro —x² + 2 si x < a ; 3x si x ≥ a—, igualar los dos tramos en x = a da una ecuación en a: a² + 2 = 3a, o sea a² − 3a + 2 = 0, con dos soluciones, a = 1 y a = 2. Las dos sirven: son las dos abscisas donde la parábola y la recta se cortan, y cortar la función ahí la vuelve continua.

El control que conviene hacer siempre

Con el parámetro hallado, calculá los dos laterales de nuevo: tienen que dar exactamente el mismo número, y ése tiene que ser f(a). Si con a = 7/3 la izquierda da 25/3 y la derecha 25/3, está.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Analizar la continuidad en el punto indicado y, si no es continua, clasificar la discontinuidad. a) f(x) = (x² + x − 6)/(x − 2) si x ≠ 2 ; 1 si x = 2, en x = 2. b) g(x) = x² − 1 si x < 1 ; 2x + 1 si x ≥ 1, en x = 1.

a) Las tres condiciones.

1. f(2) = 1 ✔ existe
2. (x − 2)(x + 3)/(x − 2) = x + 3 → 5
3. 5 ≠ 1 ✘

El límite existe pero no coincide con el valor: discontinuidad evitable. Si se redefiniera f(2) = 5, quedaría continua. En el gráfico: la recta y = x + 3 con un agujero en (2, 5) y un punto suelto en (2, 1).

b) El corte. g(1) = 2·1 + 1 = 3.

lím_x→1⁻ (x² − 1) = 0
lím_x→1⁺ (2x + 1) = 3

Los laterales son distintos: el límite no existe, discontinuidad esencial (un salto de 3). No hay forma de redefinir g(1) para taparlo.

Control: g(0,999) ≈ −0,002 y g(1,001) ≈ 3,002: dos alturas distintas a un milésimo de distancia ✔

Dónde se pierde el punto: en a), decir «continua» porque f(2) existe; en b), decir «evitable» porque cada lateral es un número.

Y uno del nivel del parcial

a) Hallar todos los valores de a para que f(x) = x² + 2 si x < a ; 3x si x ≥ a sea continua en x = a. b) Hallar b para que g(x) = (x − 3)²·cos(1/(x − 3)) si x ≠ 3 ; b si x = 3 sea continua en x = 3.

a) El parámetro es el corte. Por izquierda de a vale x² + 2, que tiende a a² + 2; por derecha, y en a, vale 3x, que da 3a:

a² + 2 = 3a ⟺ a² − 3a + 2 = 0
⟺ (a − 1)(a − 2) = 0

Hay dos valores: a = 1 y a = 2. Control con a = 1: por izquierda 1 + 2 = 3 y por derecha 3·1 = 3 ✔. Con a = 2: 4 + 2 = 6 y 3·2 = 6 ✔. Con cualquier otro a, por ejemplo a = 0, daría 2 contra 0: salto.

b) Acotada por cero. Para x ≠ 3, −(x − 3)² ≤ (x − 3)²·cos(1/(x − 3)) ≤ (x − 3)², y las dos puntas tienden a 0:

lím_x→3 g(x) = 0 ⟹ b = 0

Cualquier otro b dejaría una discontinuidad evitable.

Dónde se pierde el punto: en a), quedarse con a = 1 y no ver la otra raíz; en b), contestar «no tiene límite porque el coseno oscila».

Dónde se cae la mayoría

Mirar sólo que f(a) exista: además el límite tiene que existir y ser igual a f(a).
Llamar evitable a un salto porque «los dos laterales existen»: si son distintos, el límite no existe y es esencial.
En un cociente, llamar esencial a todo cero del denominador: si el 0/0 se simplifica, el límite existe y es evitable.
En (x − 3)²·cos(1/(x − 3)), decir que no hay límite porque el coseno oscila: está acotado y multiplicado por algo que va a 0.
Con el parámetro en el punto de corte, quedarse con una sola raíz de la cuadrática: las dos hacen continua a la función.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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