Análisis Matemático (72) · Unidad 3 — Límite y continuidad

Límites en un punto y laterales: 0/0 con factoreo y conjugado

A un punto se llega por la izquierda y por la derecha, y el límite existe sólo si los dos laterales coinciden. Un número sobre algo que tiende a 0 se dispara, con el signo de cada lado; un 0/0 esconde un factor común, que se saca factorizando o con el conjugado.

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La explicación

El límite mira alrededor, no el punto

lím_x→a f(x) = L dice que, cuando x se acerca a a sin llegar, f(x) se acerca a L. Lo que pase justo en a no cuenta: f puede no estar definida ahí, o valer otra cosa.

lím_x→a⁻: por izquierda (x < a)
lím_x→a⁺: por derecha (x > a)

El límite existe si y sólo si los dos laterales existen y son iguales. Si dan distinto, «no existe» es la respuesta completa.

En un gráfico se lee igual: se sigue la curva desde la izquierda hacia a y se ve a qué altura llega; después desde la derecha. El puntito lleno o vacío en x = a dice cuánto vale f(a), que es otra pregunta. Si de algún lado la curva se dispara hacia arriba o hacia abajo, ese lateral es +∞ o −∞.

Primero se reemplaza

Si la expresión tiene sentido en a (un polinomio, un cociente cuyo denominador no se anula, una raíz de algo positivo), el límite es el valor: lím_x→2 (x² + 1)/(x + 3) = 5/5 = 1. Recién si al reemplazar aparece algo sin sentido hay que trabajar.

Número sobre casi cero

Si arriba tiende a un número k ≠ 0 y abajo a 0, el cociente se dispara. El signo se decide de cada lado:

1. Signo del numerador cerca de a (es el mismo de los dos lados).
2. Signo del denominador del lado pedido: probá a − 0,01 y a + 0,01.
3. Signos iguales → +∞; distintos → −∞.

(x + 2)/(x − 1) cerca de 1: arriba ≈ 3; abajo es positivo a la derecha y negativo a la izquierda. Da +∞ por derecha y −∞ por izquierda, así que el límite no existe. En cambio (x + 2)/(x − 1)² da +∞ de los dos lados, porque el cuadrado es siempre positivo: ahí el límite es +∞.

0/0: el factor escondido

Si arriba y abajo tienden a 0, no es el resultado: los dos comparten el factor (x − a). Se factoriza (con Ruffini dividiendo por x − a, o con las fórmulas de siempre), se cancela —se puede, porque x nunca vale a— y se reemplaza en lo que queda:

(x² + 2x − 15)/(x − 3)
= (x − 3)(x + 5)/(x − 3) = x + 5 → 8

A veces el factor aparece dos veces: (x³ − 3x + 2) = (x − 1)²(x + 2). Si abajo hay (x − 1)², se cancelan los dos.

0/0 con raíces: el conjugado

Si el 0 viene de una resta con raíz, √(x + 5) − 2 en x = −1, se multiplica arriba y abajo por el conjugado √(x + 5) + 2. La resta se vuelve (x + 5) − 4 = x + 1, que es el factor que se cancela. El conjugado se usa donde esté la raíz: arriba, abajo o en los dos lados (y entonces se multiplica por los dos).

Un solo lado

√(x − 3) sólo existe para x ≥ 3: cerca de 3 se puede llegar únicamente por derecha. Por eso esos ejercicios piden lím_x→3⁺, y el signo sale solo: la raíz es positiva.

El parámetro que hace finito un límite

Si abajo tiende a 0 y arriba a un número distinto de 0, el límite es infinito. Entonces, para que sea finito, arriba también tiene que tender a 0. Esa condición da una ecuación para el parámetro; después se calcula el límite como un 0/0 cualquiera. Para (x² + a x + 8)/(x + 2) en x = −2: 4 − 2a + 8 = 0 ⟹ a = 6, y queda (x + 2)(x + 4)/(x + 2) = x + 4 → 2.

El control que conviene hacer siempre

Evaluá en a + 0,001 y en a − 0,001. Si te dio 8, los dos tienen que andar por 8; si te dio +∞ de un lado, ese valor tiene que ser un número positivo enorme. Con dos cuentas cazás el signo de un lateral y el factor mal cancelado.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Calcular: a) lím x→2 (x³ − 8)/(x² − 5x + 6); b) lím x→−1 (√(x + 5) − 2)/(x² − 1); c) los laterales en x = 1 de (x + 2)/(x − 1), y decir si existe el límite.

a) 0/0: factoreo. x³ − 8 es una diferencia de cubos, y abajo las raíces son 2 y 3:

(x − 2)(x² + 2x + 4)/((x − 2)(x − 3))
= (x² + 2x + 4)/(x − 3) → 12/(−1)

El límite es −12. Control: en x = 2,001 da ≈ −12,02 ✔

b) 0/0 con raíz arriba: conjugado.

(x + 5 − 4)/((x² − 1)(√(x + 5) + 2))
= (x + 1)/((x − 1)(x + 1)(√(x + 5) + 2))

Se cancela x + 1 y queda 1/((x − 1)(√(x + 5) + 2)) → 1/((−2)·4) = −1/8. Control: en x = −0,999 da ≈ −0,125 ✔

c) k/0. Arriba tiende a 3. Abajo, con x = 1,01 es +0,01 y con x = 0,99 es −0,01:

lím_x→1⁺ = +∞ lím_x→1⁻ = −∞

Los laterales son distintos: el límite en x = 1 no existe, y la recta x = 1 es asíntota vertical.

Dónde se pierde el punto: en a), no reconocer la diferencia de cubos y dar «0/0 = 0»; en b), multiplicar por el conjugado sólo arriba; en c), contestar +∞ mirando un solo lado.

Y uno del nivel del parcial

a) Hallar a para que lím x→3 (x² + a x − 6)/(x − 3) sea finito, y calcular ese límite. b) Hallar a para que lím x→0 (√(a x + 9) − 3)/x = 2.

a) Abajo tiende a 0: arriba también tiene que tender a 0.

3² + 3a − 6 = 0 ⟹ a = −1

Con a = −1: (x² − x − 6)/(x − 3) = (x − 3)(x + 2)/(x − 3) = x + 2 → 5. Si a fuera otro número, el numerador tendería a 3 + 3a ≠ 0 y el cociente se dispararía.

b) Conjugado con el parámetro adentro. Para todo a, arriba tiende a √9 − 3 = 0, así que es 0/0:

(a x + 9 − 9)/(x(√(a x + 9) + 3))
= a/(√(a x + 9) + 3) → a/6

a/6 = 2 ⟹ a = 12. Verificación: (√(12x + 9) − 3)/x en x = 0,001 da ≈ 1,999 ✔

Dónde se pierde el punto: en a), igualar el límite a 0 en vez de pedir que se anule el numerador; en b), olvidarse de que el conjugado deja un 3 + 3 = 6 abajo y contestar a = 2.

Dónde se cae la mayoría

Contestar 0/0 = 0 (o = 1): es una indeterminación; hay que factorizar o usar el conjugado.
Decir que el límite de k/(x − a) es +∞ sin mirar los lados: por izquierda el denominador es negativo.
Cancelar (x − a) arriba sin haberlo sacado de abajo, o factorizar mal y cancelar algo que no es factor.
Multiplicar por el conjugado sólo arriba: hay que multiplicar arriba y abajo para no cambiar la función.
En el parámetro, igualar el límite a 0 en vez de pedir que el numerador se anule en el punto.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Primer parcial — Un hueco, una asíntota y un 1^∞15 puntos · resuelto paso a paso
Primer parcial — Pegar una exponencial con un cociente15 puntos · resuelto paso a paso

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