Análisis Matemático (72) · Unidad 3 — Límite y continuidad
Límites en el infinito: leer gráficos y cocientes de polinomios
Cuando x se aleja, manda el término de mayor grado: en un polinomio decide hacia qué infinito se va, y en un cociente la comparación de los grados dice si el límite es 0, un número o infinito. Si da un número L, la recta y = L es asíntota horizontal.
La explicación
Qué se pregunta cuando x se va lejos
límx→+∞ f(x) pregunta qué hace f(x) cuando x crece sin freno. Hay tres respuestas posibles, y las tres se ven en un gráfico:
- Un número L: la curva se acuesta contra la recta horizontal y = L, que es una asíntota horizontal. Puede cruzarla cerca del origen; lo que importa es que lejos se le pega.
- +∞ o −∞: la curva sube (o baja) sin techo. No hay asíntota de ese lado.
- No existe: la curva no se acomoda en ningún lado, como una onda que sube y baja siempre igual (sen x, por ejemplo).
x → −∞ es otra pregunta, y puede tener otra respuesta: una función puede acostarse sobre y = 5 hacia la derecha y sobre y = −1 hacia la izquierda. Por eso, al leer un gráfico, se miran las dos puntas por separado.
La cuenta con los infinitos
∞ + ∞ = ∞ k·∞ = ±∞ (k ≠ 0)
El signo en k·∞ es el de k. Lo que no tiene resultado fijo son las indeterminaciones: ∞ − ∞, ∞/∞ y 0·∞. No quieren decir 0 ni 1: quieren decir «hay que transformar la expresión antes de contestar».
Polinomios: manda el de mayor grado
En un polinomio, término por término aparece ∞ − ∞. Se resuelve sacando factor común la potencia más alta:
El paréntesis tiende a −1, así que el polinomio hace lo mismo que −x⁴. Queda el signo:
- en +∞, el signo es el del coeficiente principal;
- en −∞, una potencia par es positiva y una impar, negativa. Ojo que −x⁴ no es (−x)⁴: primero se eleva y después se pone el menos, así que −x⁴ → −∞ en los dos lados.
Cocientes de polinomios: los tres casos
Se divide arriba y abajo por la potencia más alta del denominador, y todo lo que queda con x abajo se va a 0:
= (8 − 5/x)/(4 + 3/x²) → 8/4 = 2
grados iguales → cociente de principales
grado arriba > abajo → ±∞
En el tercer caso el signo sale del cociente de los términos principales: (x² − 4x)/(3x + 5) se porta como x²/(3x) = x/3, que en −∞ da −∞. Si el polinomio viene factorizado, no hace falta distribuir: el grado es la suma de los grados y el principal es el producto de los principales. (x + 2)(1 − 4x²) tiene grado 3 y principal x·(−4x²) = −4x³.
Una resta de cocientes: juntar primero
Si cada cociente por separado se va a +∞, la resta es ∞ − ∞ y no se puede contestar mirándolos de a uno. Se saca común denominador y se aplica lo anterior al cociente que queda: los términos grandes se cancelan y aparece el número escondido.
1. Reemplazá mentalmente: ¿da un número, un k·∞, o una indeterminación?
2. Polinomio: el término principal. Cociente: compará grados (o dividí). Resta de cocientes: común denominador.
3. Si da infinito, decidí el signo mirando el lado (+∞ o −∞) y las potencias pares e impares.
4. Si da un número L, contestá también la asíntota: y = L.
En economía: «a largo plazo»
Cuando un modelo depende del tiempo t, «a largo plazo» quiere decir t → +∞. Si las ventas acumuladas de un libro son V(t) = (48t² + 5t)/(4t² + 9) miles de ejemplares, el límite 48/4 = 12 es el techo del mercado: por más que pase el tiempo, las ventas se acercan a 12 000 y no lo pasan de largo. La asíntota horizontal tiene nombre propio: es la saturación.
El control que conviene hacer siempre
Evaluá en x = 1000 (o en −1000 si el límite es en −∞). Si te dio 2, f(1000) tiene que andar por 2; si te dio −∞, tiene que salir un número negativo enorme. Es el control que caza el signo cambiado en −∞, que es el error más común del tema.
Calcular: a) lím x→+∞ (7x − 2x³)/(4x³ + x² − 1); b) lím x→−∞ (x² − 4x)/(3x + 5); c) lím x→+∞ [ (2x² + 1)/(x − 1) − (2x² − x)/(x + 3) ].
a) Grados iguales (3 y 3). Los principales son −2 (el de −2x³, aunque esté escrito segundo) y 4:
→ −2/4 = −1/2
Asíntota horizontal: y = −1/2. Control: en x = 1000 da ≈ −0,4999 ✔
b) Grado arriba mayor. No hay asíntota; falta el signo. Se porta como x²/(3x) = x/3, y con x → −∞ eso da −∞. Control: en x = −1000, arriba ≈ 10⁶ (positivo) y abajo ≈ −3000: el cociente es negativo y grande ✔
c) Cada cociente va a +∞ (grado 2 sobre grado 1): es ∞ − ∞. Común denominador:
= 2x³ + 6x² + x + 3 − 2x³ + 3x² − x
= 9x² + 3
Los 2x³ se cancelaron: por eso mirar cada cociente por separado no decía nada. Control: con x = 1000, los dos cocientes valen ≈ 2002,003 y ≈ 1993,012, y su resta ≈ 8,99 ✔
Dónde se pierde el punto: en a), dividir 7 por 4 porque son «los primeros»; en c), contestar 0 porque «infinito menos infinito se anula».
Una editorial estima que, t meses después de lanzar una colección, lleva vendidos V(t) = (48t² + 5t)/(4t² + 9) miles de ejemplares. a) ¿Cuántos ejemplares se venden a largo plazo? b) Para una segunda colección el modelo es W(t) = (a t² + 3t)/(2t² + 1). Hallar a para que a largo plazo venda 15 000 ejemplares. c) ¿Qué pasa con el cociente V(t)/t (ejemplares por mes, en promedio) cuando t → +∞?
a) El techo del mercado. Grados iguales:
A largo plazo, las ventas se acercan a 12 000 ejemplares. La recta y = 12 es asíntota horizontal del gráfico de V.
b) El parámetro, con el límite. Si a ≠ 0 los grados son iguales y el límite es a/2:
Verificación: (30t² + 3t)/(2t² + 1) → 30/2 = 15 ✔. (Si a fuera 0, el límite sería 0: una colección que deja de venderse.)
c) El promedio mensual. V(t)/t = (48t² + 5t)/(4t³ + 9t): grado 2 contra grado 3, así que tiende a 0. Tiene sentido: si el total se estanca en 12 000, repartido entre cada vez más meses, el promedio por mes se achica.
Control: V(100) = 480 500/40 009 ≈ 12,01, cerca de 12 ✔
Dónde se pierde el punto: en b), despejar a = 15/2 (dividir en vez de multiplicar), y en todos contestar «12» sin decir que son miles de ejemplares.
Dónde se cae la mayoría
- Contestar 0 en ∞ − ∞ o 1 en ∞/∞: son indeterminaciones, no resultados; hay que transformar la expresión.
- Tomar como coeficiente principal el que está escrito primero y no el de la potencia más alta.
- Leer −x⁴ como (−x)⁴ y decir que en −∞ va a +∞: el menos queda afuera de la potencia.
- En una resta de dos cocientes que van a infinito, restar los infinitos en vez de sacar común denominador.
- Suponer que en −∞ el límite es el mismo que en +∞ sin mirarlo: en un gráfico, las dos puntas se leen por separado.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Límites en el infinito: leer gráficos y cocientes de polinomios →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Un hueco, una asíntota y un 1^∞15 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 3
Límite y continuidad
- 3.2 Más límites en el infinito: raíces, exponenciales y «acotada por cero»
- 3.3 Límites en un punto y laterales: 0/0 con factoreo y conjugado
- 3.4 Asíntotas verticales y horizontales
- 3.5 El número e: límites de la forma 1^∞
- 3.6 Continuidad y tipos de discontinuidad; el parámetro que la hace continua
- 3.7 Bolzano: ceros y conjuntos de positividad y negatividad