Análisis Matemático (72) · Unidad 2 — Funciones

Funciones definidas por partes

Una función partida usa una fórmula distinta en cada tramo de x. Para evaluarla, primero se mira en qué tramo cae el número; para buscar ceros o el signo, se trabaja tramo por tramo y cada solución se queda sólo si cumple la condición de su tramo.

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La explicación

Qué es una función partida

Muchas reglas de la vida real cambian a partir de cierto punto: una editorial que cobra un precio por ejemplar hasta 100 unidades y otro más barato por las siguientes, un impuesto que tiene una alícuota distinta por escala. Se escriben así:

f(x) = x² − 2 si x < 1
f(x) = 4 − 2x si x ≥ 1

Es una sola función: a cada x le corresponde un único valor, el de la fórmula de su tramo. Por eso los tramos no pueden pisarse (un mismo x no puede estar en dos condiciones) y cada borde tiene que quedar en uno solo de los lados: acá el 1 va con la segunda fórmula, porque dice x ≥ 1.

Evaluar: primero el tramo, después la cuenta

1. Mirá qué condición cumple el número: ¿es < 1? ¿es ≥ 1?
2. Usá sólo la fórmula de ese tramo.
3. En los bordes, leé con cuidado el ≤ o el <: f(1) = 4 − 2 = 2, no 1² − 2.

Con la f de arriba: f(−2) = 4 − 2 = 2 (primer tramo), f(1) = 2 (segundo tramo) y f(4) = 4 − 8 = −4 (segundo tramo).

Dominio: juntar los pedazos

El dominio es la unión de los tramos, menos los puntos donde la fórmula de un tramo no se puede calcular. Si la función dice «√(x + 4) si −4 ≤ x < 0; 3 − x si x > 2», el dominio es [−4, 0) ∪ (2, +∞): entre 0 y 2 no hay fórmula. Y si un tramo tiene un cociente, hay que sacar los ceros de su denominador que caigan adentro de ese tramo.

Ceros y signo, tramo por tramo

Se resuelve la ecuación o la inecuación con la fórmula de cada tramo y después se interseca con su condición. Una solución que no cumple la condición de su tramo no sirve: en ese x manda otra fórmula.

tramo x < 1: x² − 2 = 0 → x = ±√2
√2 ≈ 1,41 no es < 1: se descarta → x = −√2
tramo x ≥ 1: 4 − 2x = 0 → x = 2 ✔

Los ceros son −√2 y 2. Para el signo se hace lo mismo con > 0: en el primer tramo x² − 2 > 0 da x < −√2 o x > √2, y con x < 1 queda (−∞, −√2); en el segundo, 4 − 2x > 0 da x < 2, y con x ≥ 1 queda [1, 2). La positividad es (−∞, −√2) ∪ [1, 2) y la negatividad (−√2, 1) ∪ (2, +∞).

El gráfico: puntos llenos y vacíos

Cada tramo se dibuja con su fórmula, sólo en su pedazo del eje x. En cada borde se marca con punto lleno el extremo que pertenece al tramo (≤, ≥) y con punto vacío el que no (<, >). En la f de arriba, el primer tramo termina en (1, −1) con punto vacío y el segundo arranca en (1, 2) con punto lleno: el gráfico pega un salto en x = 1. Si una fórmula vale en un solo punto («5 si x = 0»), es un punto aislado, lleno, y el resto de la curva pasa con un punto vacío a esa altura o a otra. Esos saltos y agujeros son lo que la unidad 3 va a estudiar como continuidad.

El control que conviene hacer siempre

Para cada respuesta, preguntate en qué tramo está y reemplazá en esa fórmula. Un cero tiene que dar 0 con la fórmula de su tramo; un punto del conjunto de positividad, un valor positivo. Y los bordes, uno por uno: ¿están incluidos o no?

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea f(x) = x² − 2 si x < 1 ; 4 − 2x si x ≥ 1. a) Calcular f(−2), f(1) y f(4). b) Hallar los ceros. c) Hallar los conjuntos de positividad y de negatividad.

a) Cada número con su tramo:

f(−2): −2 < 1 → (−2)² − 2 = 2
f(1): 1 ≥ 1 → 4 − 2 = 2
f(4): 4 ≥ 1 → 4 − 8 = −4

b) Tramo x < 1: x² = 2 da x = √2 o x = −√2. Como √2 ≈ 1,41 no cumple x < 1, se descarta; queda x = −√2. Tramo x ≥ 1: 4 − 2x = 0 da x = 2, que cumple x ≥ 1 ✔.

c) Tramo x < 1: x² − 2 > 0 ⇔ |x| > √2; con x < 1 queda (−∞, −√2). Tramo x ≥ 1: 4 − 2x > 0 ⇔ x < 2; con x ≥ 1 queda [1, 2).

positividad: (−∞, −√2) ∪ [1, 2)
negatividad: (−√2, 1) ∪ (2, +∞)

Control: f(0) = −2 < 0 y 0 está en la negatividad ✔; f(1,5) = 1 > 0 y 1,5 está en la positividad ✔; f(1) = 2 > 0, y el 1 entra con corchete ✔.

Dónde se pierde el punto: dar los ceros −√2, √2 y 2. En x = √2 la que manda es la recta, y 4 − 2√2 ≈ 1,17 no es 0.

Y uno del nivel del parcial

Sea f(x) = 2/(x + 1) si x < 0 ; 5 si x = 0 ; x² − 3x si x > 0. Calcular f(−3), f(0) y f(2); dar el dominio; hallar los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad.

Valores: f(−3) = 2/(−2) = −1; f(0) = 5 (el punto aislado); f(2) = 4 − 6 = −2.

Dominio. Los tres tramos cubren todo ℝ, pero en el primero 2/(x + 1) no se puede calcular en x = −1, que sí cumple x < 0: Dom = ℝ − {−1}.

Ceros. 2/(x + 1) nunca vale 0; en x = 0 vale 5; en x > 0, x(x − 3) = 0 da x = 0 (no cumple x > 0) o x = 3 ✔. Único cero: 3.

Signo. Tramo x < 0: 2/(x + 1) > 0 ⇔ x > −1, así que es positiva en (−1, 0) y negativa en (−∞, −1). En x = 0 vale 5 > 0. Tramo x > 0: x(x − 3) < 0 en (0, 3) y > 0 en (3, +∞).

positividad: (−1, 0] ∪ (3, +∞)
negatividad: (−∞, −1) ∪ (0, 3)

Dónde se pierde el punto: dejar el 0 afuera de la positividad porque «ahí se corta la parábola». En x = 0 manda el punto aislado, que vale 5: el 0 entra.

Dónde se cae la mayoría

Evaluar un borde con la fórmula equivocada: si el tramo dice x ≥ 1, el 1 va en ése, no en el que dice x < 1.
Quedarse con una solución que no cumple la condición de su tramo: x = √2 resuelve x² − 2 = 0, pero si el tramo es x < 1 no sirve.
Dar como dominio «todos los reales» sin mirar si los tramos cubren todo: entre dos tramos puede quedar un hueco.
Olvidarse del punto aislado: en «5 si x = 0» ese x tiene su propio valor, aunque las otras fórmulas digan otra cosa.
Marcar los dos extremos de un borde con punto lleno: sólo va lleno el que tiene el ≤ o el ≥.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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