Análisis Matemático (72) · Unidad 2 — Funciones

Funciones y gráficos: leer un gráfico, dominio e imagen

Una función le asigna a cada x de su dominio un único valor f(x). Su gráfico se lee mirando las proyecciones: sobre el eje x está el dominio, sobre el eje y la imagen, y cada altura cuenta una historia: cuándo sube, cuándo baja y cuánto dura cada cosa.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

Los puntos del plano

Un punto del plano es un par ordenado (a, b): a es la abscisa (cuánto se corre en horizontal) y b es la ordenada (cuánto sube o baja). El orden importa: (2, 5) y (5, 2) son puntos distintos. Los ejes parten el plano en cuatro cuadrantes: el primero tiene las dos coordenadas positivas, el segundo abscisa negativa y ordenada positiva, el tercero las dos negativas y el cuarto abscisa positiva y ordenada negativa.

Tres conjuntos de puntos que conviene reconocer de un vistazo:

abscisa igual a c → la recta vertical x = c
ordenada igual a c → la recta horizontal y = c
abscisa igual a ordenada → la recta y = x

Qué es una función

Una función f de un conjunto A en ℝ le asigna a cada elemento x de A un único número f(x). A se llama el dominio, Dom(f), y el conjunto de todos los valores que toma f es la imagen, Im(f). El gráfico de f es el conjunto de puntos (x, f(x)).

Las dos palabras que pesan son «cada» y «único». Por eso hay una prueba visual: una recta vertical corta al gráfico de una función a lo sumo una vez. La recta vertical x = 3 no es el gráfico de ninguna función (al 3 le correspondería una infinidad de valores), y tampoco la parábola acostada x = y², porque el 4 tendría dos imágenes: 2 y −2.

Leer un gráfico hecho de tramos rectos

Muchos gráficos económicos vienen así: el stock de un depósito, la cantidad de suscriptores de un servicio, la temperatura de un horno. Cada pregunta tiene su lectura:

Dominio: la sombra del gráfico sobre el eje x (desde dónde hasta dónde está dibujado).
Imagen: la sombra sobre el eje y, desde la altura más baja hasta la más alta.
¿Cuántas veces vale c?: se traza la horizontal y = c y se cuentan los cortes. Si la horizontal coincide con un tramo plano, son infinitas veces.
Máximo: la altura más alta; cuánto dura: el largo del tramo plano que está a esa altura.
Crece, decrece, es constante: se contesta con intervalos del eje x (abiertos), mirando el gráfico de izquierda a derecha.

El valor en un punto que no es un vértice

Si el instante que te preguntan cae en el medio de un tramo recto, no se adivina: se interpola, porque en un tramo recto la altura cambia lo mismo por cada unidad de x.

1. Ubicá el tramo: los dos vértices (x₁, y₁) y (x₂, y₂) entre los que cae tu x.
2. Calculá cuánto cambia la altura por unidad: (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
3. Multiplicá ese cambio por lo que avanzaste desde x₁ y sumalo a y₁: f(x) = y₁ + (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)·(x − x₁).
4. Mirá que el resultado quede entre y₁ e y₂: si no, usaste el tramo equivocado.

La misma cuenta, al revés, dice cuándo se alcanza una altura: se iguala y₁ + cambio·(x − x₁) = c y se despeja x.

Ceros y signo, en palabras

El conjunto de ceros son los x donde el gráfico toca el eje x (f(x) = 0). El conjunto de positividad son los x donde el gráfico está por arriba del eje; el de negatividad, donde está por debajo. En un gráfico de tramos se buscan los cortes con el eje interpolando, igual que cualquier otra altura (con c = 0).

El control que conviene hacer siempre

Cada respuesta se puede señalar en el dibujo. Si dijiste que un valor se toma dos veces, tenés que poder marcar los dos cortes; si dijiste que el máximo dura 2 horas, el tramo plano tiene que medir eso sobre el eje x. Y la imagen nunca puede tener un número más alto que el vértice más alto ni más bajo que el más bajo.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

El stock de cajas de alfajores del depósito de una fábrica, en una jornada de 10 horas, tiene un gráfico formado por los segmentos que unen los puntos (0, 400), (3, 1000), (5, 1000), (7, 200), (9, 600) y (10, 600), con el tiempo en horas y el stock en cajas. a) Dominio e imagen. b) ¿Cuántas cajas había a las 2 horas? c) ¿Cuántas veces hubo 700 cajas? d) ¿Cuál fue el stock máximo y cuánto duró? e) ¿Cuándo sube, cuándo baja y cuándo es constante?

a) El gráfico va de t = 0 a t = 10: Dom = [0, 10]. La altura más baja es 200 (a las 7) y la más alta 1000: Im = [200, 1000].

b) t = 2 cae en el primer tramo, de (0, 400) a (3, 1000). Ahí el stock sube 600 cajas en 3 horas, 200 por hora:

f(2) = 400 + 200·2 = 800 cajas

Queda entre 400 y 1000, como tiene que ser.

c) La horizontal de 700 corta dos tramos. En el primero, 400 + 200t = 700 da t = 1,5. En el que baja, de (5, 1000) a (7, 200), el stock cae 400 por hora:

1000 − 400·(t − 5) = 700 → t − 5 = 0,75 → t = 5,75

En el último tramo sube de 200 a 600 y no llega a 700. Hubo 700 cajas dos veces: a la hora y media y a las 5 horas 45 minutos.

d) El máximo es 1000 cajas, en el tramo plano de t = 3 a t = 5: duró 2 horas.

e) Crece en (0, 3) y en (7, 9); decrece en (5, 7); es constante en (3, 5) y en (9, 10).

Dónde se pierde el punto: en c), olvidarse del tramo que baja. La horizontal se traza entera, de punta a punta del gráfico, y se cuentan todos los cortes.

Y uno del nivel del parcial

El gráfico de f: [−3, 6] → ℝ está formado por los segmentos que unen (−3, −1), (0, 5), (2, 1), (4, 1) y (6, 4). a) Hallar el conjunto de ceros. b) Dar los conjuntos de positividad y de negatividad. c) Hallar la imagen de f. d) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación f(x) = 3? Dar cada una y controlar que caiga dentro de su tramo.

Ceros. Sólo el primer tramo cruza el eje x (va de −1 a 5). Ahí f sube 6 en 3 unidades, 2 por unidad: −1 + 2(x + 3) = 0 → x = −5/2. Los otros tramos están siempre a altura 1 o más. Ceros: {−5/2}.

Signo. A la izquierda de −5/2 el gráfico está debajo del eje. Positividad: (−5/2, 6]; negatividad: [−3, −5/2).

Imagen. La altura más baja es −1 y la más alta 5: Im(f) = [−1, 5].

f(x) = 3. Se prueba tramo por tramo:

[−3, 0]: −1 + 2(x + 3) = 3 → x = −1 ✔
[0, 2]: 5 − 2x = 3 → x = 1 ✔
[2, 4]: vale 1, nunca 3
[4, 6]: 1 + (3/2)(x − 4) = 3 → x = 16/3 ✔

Son tres soluciones. Control: 16/3 ≈ 5,33 está entre 4 y 6, y la horizontal y = 3 pasa por debajo del vértice (0, 5) y por arriba del tramo plano, así que corta tres veces.

Dónde se cae la mayoría

Dar la imagen mirando el eje x o el dominio mirando el eje y: el dominio es la sombra horizontal y la imagen la vertical.
En el medio de un tramo, contestar el valor del vértice más cercano en vez de interpolar.
Contar una sola vez un valor que el gráfico toca en dos tramos distintos, o decir «una vez» cuando la horizontal coincide con un tramo plano (son infinitas).
Contestar «crece de 400 a 1000»: el crecimiento se da con intervalos del eje x, no con alturas.
Creer que cualquier curva es una función: si una vertical la corta dos veces, a ese x le tocan dos valores.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar Funciones y gráficos: leer un gráfico, dominio e imagen →

Los otros temas de la unidad 2

Funciones

Ver todos los temas de Análisis (72)