Análisis Matemático (72) · Unidad 2 — Funciones

Seno y coseno: corrimientos y dilataciones

sen x y cos x son ondas que se repiten cada 2π y van de −1 a 1. En a·sen(bx + c) + d cada número hace una sola cosa: a cambia la altura de la onda, b cuántas veces se repite, c la corre a los costados y d la sube o la baja.

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La explicación

Las dos ondas básicas

En esta materia los ángulos se miden en radianes: una vuelta entera es 2π (≈ 6,28), media vuelta es π y un cuarto de vuelta π/2. Las funciones seno y coseno están definidas para todo x real y tienen el mismo dibujo, corrido:

sen x: vale 0 en x = 0, sube hasta 1 en π/2, vuelve a 0 en π, baja a −1 en 3π/2 y vuelve a 0 en 2π. Sus ceros son 0, π, 2π, … (los múltiplos de π).
cos x: arranca en 1 en x = 0, baja a 0 en π/2, a −1 en π, vuelve a 0 en 3π/2 y a 1 en 2π.

Dom = ℝ · Im = [−1, 1] · período 2π

Que el período sea 2π quiere decir que el dibujo se repite exacto cada 2π: sen(x + 2π) = sen x. Y el coseno es el seno corrido π/2 a la izquierda: cos x = sen(x + π/2).

Qué hace cada número en a·sen(bx + c) + d

amplitud: |a| · línea media: y = d
período: 2π/|b|
Im = [d − |a|, d + |a|]

d sube (o baja) toda la onda: la línea alrededor de la cual oscila pasa a ser y = d.
a estira la onda en vertical: sube |a| arriba de la línea media y baja |a| abajo. Si a < 0, además la da vuelta: donde sen tenía un máximo, ahora hay un mínimo.
b la comprime o la estira en horizontal: con b = 2 hace dos ondas en lo que antes hacía una (período π); con b = 1/2 la estira al doble (período 4π).
c la corre a los costados. Conviene escribir bx + c = b(x + c/b): la onda se corre c/b a la izquierda si c/b > 0.

Dos corrimientos que conviene reconocer: sen(x + π) = −sen x (media vuelta da vuelta la onda) y cos(x + π/2) = −sen x.

Cómo dibujarla sin tabla

1. Trazá la línea media y = d.
2. Marcá el techo d + |a| y el piso d − |a|: la onda vive entre esas dos rectas.
3. Calculá el período 2π/|b|: es el ancho de una onda completa.
4. Ubicá dónde arranca: para un seno sin corrimiento, en (0, d) subiendo (bajando si a < 0); para un coseno, en el techo (en el piso si a < 0).
5. Partí el período en cuatro: en cada cuarto la onda pasa por la línea media, el techo o el piso.

Ejemplo: f(x) = 3 sen(2x) − 1. Línea media y = −1, techo 2, piso −4, período 2π/2 = π. Arranca en (0, −1) subiendo, llega al techo en x = π/4, vuelve a la línea media en π/2, toca el piso en 3π/4 y cierra la onda en π. Im = [−4, 2].

Las ondas en la economía

Muchas series económicas son estacionales: se repiten cada año. Las ventas mensuales de una tostadora de café pueden modelarse como V(t) = 50 − 15 cos(πt/6), con t en meses y t = 0 en enero. El período es 2π/(π/6) = 12 meses (un año); la línea media, 50 toneladas (el promedio); la amplitud, 15. Como el coseno arranca en su máximo y acá está multiplicado por −15, en enero (t = 0) está el mínimo, 35, y a mitad del año (t = 6, julio) el máximo, 65: se vende más café en invierno.

El control que conviene hacer siempre

Evaluá en x = 0: sen(0) = 0 y cos(0) = 1, así que f(0) tiene que dar lo que dice tu dibujo. Y el techo y el piso tienen que estar a la misma distancia de la línea media: si te dio Im = [−4, 2], la línea media es (−4 + 2)/2 = −1.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea f(x) = 3 sen(2x) − 1. Dar la línea media, la amplitud, el período y la imagen; los valores de x en [0, π] donde f alcanza su máximo y su mínimo, y el valor de f(π/2).

Los números: a = 3, b = 2, c = 0, d = −1.

línea media y = −1 · amplitud 3
período 2π/2 = π
Im = [−1 − 3, −1 + 3] = [−4, 2]

El máximo y el mínimo. sen u vale 1 en u = π/2 y −1 en u = 3π/2. Con u = 2x:

2x = π/2 → x = π/4 → f(π/4) = 3 − 1 = 2
2x = 3π/2 → x = 3π/4 → f(3π/4) = −3 − 1 = −4

Las dos están en [0, π], que es justo un período.

f(π/2) = 3 sen(π) − 1 = 0 − 1 = −1: a mitad del período la onda cruza la línea media.

Control: f(0) = 3·0 − 1 = −1, también sobre la línea media, y el techo y el piso están a 3 de ella ✔.

Dónde se pierde el punto: buscar el máximo en x = π/2, como en sen x. El 2 de adentro hace que todo pase el doble de rápido: el máximo llega en π/4.

Y uno del nivel del parcial

Una función de la forma f(x) = a·cos(bx) + d, con a > 0 y b > 0, tiene máximo 9, mínimo 1 y período 4π. Hallar a, b y d, y el primer x > 0 en el que f vale su mínimo.

La línea media está en el medio del techo y el piso: d = (9 + 1)/2 = 5. La amplitud es la mitad de la distancia: a = (9 − 1)/2 = 4.

El período: 2π/b = 4π → b = 1/2.

f(x) = 4 cos(x/2) + 5

El mínimo. cos u vale −1 por primera vez en u = π. Con u = x/2: x/2 = π → x = 2π. Control: f(2π) = 4 cos(π) + 5 = −4 + 5 = 1 ✔. Y tiene sentido: el coseno arranca en el techo (f(0) = 9) y llega al piso a mitad del período, 4π/2 = 2π.

Dónde se pierde el punto: despejar b = 4π/2π = 2 dando vuelta el cociente. Con b = 2 el período sería π, cuatro veces más corto que el pedido.

Dónde se cae la mayoría

Tomar el período como 2π·b en vez de 2π/b: con b = 2 la onda se repite más seguido, no menos.
Olvidarse del valor absoluto: con a = −3 la amplitud es 3, y la imagen va de d − 3 a d + 3.
Correr para el lado equivocado: sen(x + π/2) está corrida a la IZQUIERDA.
Poner la línea media en 0 cuando hay un d: la onda oscila alrededor de y = d.
Creer que el coseno arranca en 0: cos(0) = 1, arranca en el techo.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

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