Análisis Matemático (72) · Unidad 2 — Funciones

Composición de funciones y su dominio

Componer es encadenar: en f∘g(x) = f(g(x)) primero se aplica g y a lo que sale se le aplica f. El orden importa, y el dominio de la composición son los x que pueden entrar a g y cuyo resultado puede entrar a f.

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La explicación

Encadenar dos funciones

La composición de f con g es la función que a cada x le hace primero g y después f:

(f∘g)(x) = f(g(x))

Se lee de derecha a izquierda, como se escribe: g está más cerca de la x, así que actúa primero. Si g(x) = 5 − x² y f(x) = √(x − 1), para calcular f∘g(0) se hace g(0) = 5 y después f(5) = √4 = 2.

El orden importa. En general f∘g ≠ g∘f. Con f(x) = x² + 4 y g(x) = 2x − 3: f(g(x)) = (2x − 3)² + 4 = 4x² − 12x + 13, pero g(f(x)) = 2(x² + 4) − 3 = 2x² + 5. Son funciones distintas.

Desde tablas

Si f y g vienen dadas por tablas, f∘g(a) se calcula en dos búsquedas: primero se busca g(a) en la tabla de g, y con ese número se entra a la tabla de f. Si g(a) no aparece entre los x de la tabla de f, f∘g(a) no está definida.

Desde fórmulas

Para escribir f(g(x)) se toma la fórmula de f y donde dice x se pone g(x) entera, entre paréntesis. El error típico es reemplazar sólo una de las x de f, o no poner el paréntesis: con f(x) = x² + 4, f(2x − 3) es (2x − 3)² + 4, no 2x² − 3 + 4.

El dominio de la composición

Para que f(g(x)) tenga sentido hacen falta dos cosas: que x pueda entrar a g, y que lo que sale de g pueda entrar a f.

Dom(f∘g) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom(f)}

1. Escribí Dom(g) y Dom(f).
2. Traducí «g(x) ∈ Dom(f)» a una condición sobre x: si f tiene una raíz, lo de adentro ≥ 0; si tiene un denominador, distinto de 0.
3. Resolvé cada condición como inecuación o ecuación, con g(x) en el lugar de la x de f.
4. Intersecá todo con Dom(g) y escribilo como intervalo o unión de intervalos.

Con f(x) = √(x − 1) y g(x) = 5 − x²: Dom(g) = ℝ y hace falta 5 − x² − 1 ≥ 0, o sea x² ≤ 4: Dom(f∘g) = [−2, 2]. En cambio, g∘f(x) = 5 − (√(x − 1))² = 6 − x, que parece definida en todo ℝ, pero sólo vale para x ≥ 1: el dominio se mira antes de simplificar, porque primero hay que poder calcular √(x − 1).

Cuando el dominio queda como un intervalo o una unión, se pueden leer su supremo y su ínfimo como en cualquier conjunto: el de [−3, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, 3] tiene supremo 3 e ínfimo −3, y los dos pertenecen (son máximo y mínimo).

Ceros y cortes de composiciones

Ceros de f∘g: f(g(x)) = 0 pasa cuando g(x) es un cero de f. Con f(x) = x² − 9, hay que resolver g(x) = 3 y g(x) = −3.
Dónde se cortan f∘g y g∘f: se escriben las dos fórmulas y se igualan, como cualquier par de funciones.

El control que conviene hacer siempre

Calculá un valor por los dos caminos: con la fórmula de f∘g y en dos pasos (primero g, después f). Tienen que coincidir. Y probá un número de afuera del dominio que encontraste: en algún paso tiene que aparecer una raíz de un negativo o una división por cero.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sean f(x) = √(x − 1) y g(x) = 5 − x². Escribir f∘g y g∘f, hallar el dominio de cada una y el supremo y el ínfimo de Dom(f∘g).

f∘g. Donde f dice x, va g(x):

f(g(x)) = √(5 − x² − 1) = √(4 − x²)

Dom(g) = ℝ. La condición es g(x) ∈ Dom(f): 5 − x² ≥ 1, o sea x² ≤ 4, −2 ≤ x ≤ 2.

Dom(f∘g) = [−2, 2] · sup = 2, inf = −2

Los dos pertenecen: son el máximo y el mínimo del dominio.

g∘f. Donde g dice x, va f(x):

g(f(x)) = 5 − (√(x − 1))² = 5 − (x − 1) = 6 − x

Pero para calcularla primero hay que poder hacer √(x − 1): Dom(g∘f) = [1, +∞), aunque la fórmula final no tenga raíz.

Control: x = 0 en f∘g: g(0) = 5, f(5) = 2, y √(4 − 0) = 2 ✔. x = 3 queda afuera: g(3) = −4 y √(−5) no existe ✔.

Dónde se pierde el punto: dar Dom(g∘f) = ℝ porque 6 − x está definida en todas partes. El dominio es el de la cadena, no el de la fórmula simplificada.

Y uno del nivel del parcial

Sean f(x) = x² + 3x y g(x) = x − 2. Hallar los ceros de f∘g y los puntos de intersección de los gráficos de f∘g y g∘f.

Las dos composiciones:

f∘g(x) = (x − 2)² + 3(x − 2) = x² − x − 2
g∘f(x) = x² + 3x − 2

Ceros de f∘g. Por la fórmula: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0, x = 2 o x = −1. Por la cadena: los ceros de f son 0 y −3, así que hay que resolver x − 2 = 0 (x = 2) y x − 2 = −3 (x = −1). Coinciden ✔.

Intersección.

x² − x − 2 = x² + 3x − 2
−x = 3x → x = 0

La altura: f∘g(0) = −2 y g∘f(0) = −2 ✔. Se cortan en un solo punto, (0, −2).

Dónde se pierde el punto: al restar las dos fórmulas, cancelar el −x con el 3x como si fueran iguales. Quedan −x − 3x = 0, o sea −4x = 0.

Dónde se cae la mayoría

Aplicar las funciones en el orden en que se leen: en f∘g actúa primero g, la de la derecha.
Reemplazar g(x) sin paréntesis: f(x) = x² + 4 compuesta con 2x − 3 es (2x − 3)² + 4.
Tomar como dominio de f∘g el de g solo, o el de f solo: hay que pedir las dos condiciones a la vez.
Simplificar antes de mirar el dominio: (√(x − 1))² da x − 1 sólo para x ≥ 1.
Buscar los ceros de f∘g como si fueran los de g: son los x con g(x) igual a un cero de f.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

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