Análisis Matemático (72) · Unidad 2 — Funciones

Función lineal: pendiente, la recta por datos, paralelas e intersección

Una función lineal f(x) = mx + b sube (o baja) siempre lo mismo por cada unidad de x: ese cambio es la pendiente m, y b es la altura a la que corta el eje y. Con dos datos queda determinada; dos rectas con la misma pendiente son paralelas, y si no, se cortan en un único punto.

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La explicación

La forma y = mx + b

Una función lineal es f(x) = mx + b. Los dos números tienen un significado que conviene ver en el gráfico:

b, la ordenada al origen: f(0) = b, la altura a la que la recta corta al eje y.
m, la pendiente: cuánto cambia f cuando x aumenta 1. Es el escalón: un paso a la derecha, m para arriba (o para abajo, si m es negativa).

Si m > 0 la función crece, si m < 0 decrece y si m = 0 es constante: la recta horizontal y = b. Como el escalón es siempre el mismo, entre dos puntos cualesquiera de la recta el cociente «cuánto subió / cuánto avanzó» da m.

m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

El cero es donde la recta corta al eje x: mx + b = 0, o sea x = −b/m (si m ≠ 0).

La recta por datos

Por un punto y la pendiente. Si pasa por (x₀, y₀) con pendiente m, la ecuación es y − y₀ = m(x − x₀), y se despeja y. Otra manera: se escribe y = mx + b y se reemplaza el punto para hallar b.

Por dos puntos. Es la situación más común en los problemas («a tal precio se vendió tanto, a tal otro, tanto»):

1. Pendiente: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Restá en el mismo orden arriba y abajo.
2. Ordenada: reemplazá uno de los puntos en y = mx + b y despejá b.
3. Escribí f(x) = mx + b.
4. Controlá con el otro punto: tiene que cumplir la ecuación.

Desde un gráfico. Se eligen dos puntos que se lean bien, casi siempre los cortes con los ejes. Si la recta corta al eje y en (0, b) y al eje x en (c, 0), la pendiente es (0 − b)/(c − 0) = −b/c.

¿Es lineal una tabla? Sólo si la pendiente calculada con cualquier par de filas da lo mismo. Con tres filas alcanza con comparar la primera con la segunda y la segunda con la tercera. Si coinciden, esa pendiente sirve para completar cualquier valor que falte.

Horizontales, verticales y el k que falta

La recta horizontal y = c es la función constante c (pendiente 0). La recta vertical x = c no es el gráfico de ninguna función: al número c le correspondería cualquier altura. Su ecuación no tiene y despejada y no tiene pendiente.

Si la ecuación trae un número desconocido k («y = kx + 3 pasa por (2, 7)»), se reemplaza el punto y queda una ecuación en k: 7 = 2k + 3, k = 2.

Paralelas e intersección

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. La paralela a y = mx + b por un punto tiene la misma m y otra ordenada, que sale del punto.

Para cortar dos rectas se igualan: f(x) = g(x) da la x del corte, y cualquiera de las dos da la altura. Si las pendientes son iguales, al igualar la x se cancela: si queda algo falso (4 = −1) son paralelas distintas y no se cortan; si queda algo verdadero, son la misma recta.

f(x) = −(3/2)x + 5, g(x) = 2x − 2
−(3/2)x + 5 = 2x − 2 → 7 = (7/2)x → x = 2
f(2) = −3 + 5 = 2 → se cortan en (2, 2)

El control que conviene hacer siempre

Todo punto que uses para armar la recta tiene que cumplir la ecuación final: reemplazalo. El punto de corte de dos rectas tiene que cumplir las dos. Y mirá el signo de m contra el dibujo mental: si los datos dicen que al aumentar x baja y, la pendiente tiene que dar negativa.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar la función lineal f tal que f(−2) = 8 y f(4) = −1. Dar su cero, la recta paralela a su gráfico que pasa por (−2, 1) y el punto en el que el gráfico de f corta al de g(x) = 2x − 2.

La pendiente, restando en el mismo orden:

m = (−1 − 8)/(4 − (−2)) = −9/6 = −3/2

La ordenada: 8 = −(3/2)(−2) + b → 8 = 3 + b → b = 5.

f(x) = −(3/2)x + 5

Control con el otro dato: f(4) = −6 + 5 = −1 ✔

El cero: −(3/2)x + 5 = 0 → x = 10/3.

La paralela tiene la misma pendiente −3/2: y = −(3/2)x + b′, y por (−2, 1): 1 = 3 + b′ → b′ = −2. Es y = −(3/2)x − 2.

El corte con g: −(3/2)x + 5 = 2x − 2 → 7 = (7/2)x → x = 2, y = f(2) = 2. Control en g: g(2) = 4 − 2 = 2 ✔. Se cortan en (2, 2).

Dónde se pierde el punto: en la pendiente, restar −1 − 8 arriba y −2 − 4 abajo: da +3/2, una recta que sube cuando los datos dicen que baja.

Y uno del nivel del parcial

Se tiene la tabla x: −2, 1, 4 ; f(x): 10, 1, −8. a) ¿Es la tabla de una función lineal? Si lo es, hallar f. b) ¿Para qué valor de k la recta y = kx − 1 pasa por el punto donde el gráfico de f corta al eje x? c) ¿Es función la recta vertical que pasa por ese punto?

a) Pendientes de a pares:

(1 − 10)/(1 − (−2)) = −9/3 = −3
(−8 − 1)/(4 − 1) = −9/3 = −3

Coinciden: es lineal, con m = −3. Con (1, 1): 1 = −3 + b → b = 4. f(x) = −3x + 4. Control: f(−2) = 6 + 4 = 10 ✔, f(4) = −12 + 4 = −8 ✔.

b) El cero de f: −3x + 4 = 0 → x = 4/3, el punto (4/3, 0). Se reemplaza en y = kx − 1:

0 = k·(4/3) − 1 → k = 3/4

c) La vertical por (4/3, 0) es x = 4/3. No es una función: todos sus puntos tienen abscisa 4/3 y alturas distintas.

Dónde se pierde el punto: en a), comparar sólo la primera fila con la última. Con tres filas hay que mirar los dos escalones: una tabla puede tener la misma pendiente «de punta a punta» y no ser lineal.

Dónde se cae la mayoría

Calcular la pendiente restando en un orden arriba y en el otro abajo: el signo sale cambiado.
Confundir la pendiente con la ordenada al origen al leer y = mx + b: m es el número que multiplica a la x.
Decir que una tabla es lineal porque los valores bajan siempre: tienen que bajar a ritmo constante, con la misma pendiente entre cada par.
Dar la intersección con una sola coordenada: el punto de corte es (x, y).
Escribir la recta vertical como y = c, o creer que es una función: es x = c y a un mismo x le tocan infinitas alturas.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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