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Análisis Matemático (72) · Unidad 2 — Funciones

Función inversa: también de la demanda y la oferta

La inversa f⁻¹ deshace lo que hace f: si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a. Existe cuando f no repite valores, se calcula despejando x, su dominio es la imagen de f y su gráfico es el de f reflejado en la recta y = x. En economía, la inversa de p = D(q) es q = D⁻¹(p): cuántas unidades se demandan a cada precio.

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La explicación

Qué es la inversa

Si f manda a en b (f(a) = b), la inversa manda b en a: f⁻¹(b) = a. Para que eso tenga sentido, f no puede mandar dos números distintos al mismo valor: tiene que ser inyectiva. En el gráfico se ve con la prueba de la horizontal: una recta horizontal corta al gráfico de f a lo sumo una vez. Las funciones estrictamente crecientes o decrecientes (rectas no horizontales, eˣ, ln x, x³, las homográficas en su dominio) son inyectivas; una parábola no, porque cada altura de arriba del vértice se toma dos veces.

Dom(f⁻¹) = Im(f) · Im(f⁻¹) = Dom(f)
f⁻¹(f(x)) = x · f(f⁻¹(x)) = x

Ojo: f⁻¹ no es 1/f. El −1 es un nombre, no un exponente.

Cómo se calcula

1. Escribí y = f(x).
2. Despejá x en función de y, deshaciendo las operaciones en el orden inverso (lo último que se le hizo a x es lo primero que se deshace).
3. Cambiá los nombres: la x despejada es f⁻¹(y); se escribe f⁻¹(x).
4. El dominio de f⁻¹ es la imagen de f: miralo en la fórmula que obtuviste (lo que no puede ir en un denominador, adentro de una raíz par o de un ln) y en la imagen de f.

El gráfico: reflejado en y = x

Si (a, b) está en el gráfico de f, (b, a) está en el de f⁻¹. Cambiar las coordenadas es reflejar en la diagonal y = x: los dos gráficos son simétricos respecto de esa recta.

Cuando f no es inyectiva: restringir

f(x) = (x − 1)² + 3 toma dos veces cada valor mayor que 3. Pero si se la mira sólo en [1, +∞) (la rama que sube), sí es inyectiva, y su inversa es f⁻¹(x) = 1 + √(x − 3). Sobre (−∞, 1] (la rama que baja) la inversa es otra: 1 − √(x − 3). Las dos tienen dominio [3, +∞), la imagen de f; lo que cambia es el signo de la raíz, que elige la rama.

La demanda al revés: q = D⁻¹(p)

En esta materia la demanda da el precio en función de la cantidad, p = D(q). Su inversa da la cantidad en función del precio: q = D⁻¹(p) dice cuántas unidades se demandan si el precio es p. Con D(q) = 2000 − 4q:

p = 2000 − 4q → 4q = 2000 − p
q = D⁻¹(p) = 500 − p/4

A $ 1200 se demandan D⁻¹(1200) = 500 − 300 = 200 unidades. Como D es decreciente, D⁻¹ también: si el precio sube, la cantidad demandada baja. La inversa de una oferta, en cambio, es creciente: a mejor precio, más unidades ofrecidas. El dominio de D⁻¹ son los precios con sentido: 0 ≤ p ≤ 2000.

El control que conviene hacer siempre

Componé: f⁻¹(f(a)) tiene que dar a. Con un número concreto es rápido: si f(1) = 1/2, entonces f⁻¹(1/2) tiene que dar 1. Y el valor que sacaste del dominio de f⁻¹ tiene que ser justo el que no está en la imagen de f.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

a) Hallar la inversa de f(x) = (3x − 2)/(x + 1), con su dominio. b) Hallar la inversa de g(x) = 2 + e^(x − 1), con su dominio.

a) Se despeja x de y = (3x − 2)/(x + 1):

y(x + 1) = 3x − 2
xy + y = 3x − 2
xy − 3x = −2 − y
x(y − 3) = −(y + 2) → x = (y + 2)/(3 − y)

Cambiando el nombre: f⁻¹(x) = (x + 2)/(3 − x), con Dom(f⁻¹) = ℝ − {3}. Cierra con lo que ya sabíamos de la homográfica: f = 3 − 5/(x + 1) nunca vale 3.

Control: f(1) = 1/2 y f⁻¹(1/2) = (5/2)/(5/2) = 1 ✔.

b) Se deshace en orden inverso: primero el 2, después la exponencial.

y = 2 + e^(x − 1) → e^(x − 1) = y − 2
x − 1 = ln(y − 2) → x = 1 + ln(y − 2)

g⁻¹(x) = 1 + ln(x − 2), con Dom(g⁻¹) = (2, +∞): es la imagen de g, que nunca baja de 2.

Control: g(1) = 2 + 1 = 3 y g⁻¹(3) = 1 + ln 1 = 1 ✔.

Dónde se pierde el punto: en b), aplicar ln a los dos miembros con el 2 todavía sumando: ln(2 + e^(x − 1)) no es 2 + (x − 1). El ln deshace una exponencial que está sola.

Y uno del nivel del parcial

La demanda de excursiones de una agencia de viajes es p = D(q) = 2000 − 4q y la oferta es p = O(q) = 3q + 250 (p en miles de pesos, q excursiones por mes). Hallar las inversas q = D⁻¹(p) y q = O⁻¹(p), interpretar su crecimiento y usarlas para encontrar el precio de equilibrio.

Las inversas, despejando q:

p = 2000 − 4q → q = D⁻¹(p) = 500 − p/4
p = 3q + 250 → q = O⁻¹(p) = (p − 250)/3

Interpretación. D⁻¹ es decreciente (pendiente −1/4): por cada $ 4 mil que sube el precio, se demanda una excursión menos por mes. O⁻¹ es creciente (pendiente 1/3): por cada $ 3 mil más, la agencia ofrece una excursión más.

El equilibrio, con las cantidades: al precio de equilibrio lo demandado es lo ofrecido.

500 − p/4 = (p − 250)/3
6000 − 3p = 4p − 1000 → 7p = 7000 → p₀ = 1000

q₀ = D⁻¹(1000) = 250. Control con las originales: D(250) = 1000 = O(250) ✔.

Dónde se pierde el punto: escribir D⁻¹(p) = 1/(2000 − 4q). La inversa no es el recíproco: es despejar la cantidad.

Dónde se cae la mayoría

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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