Análisis Matemático (72) · Unidad 2 — Funciones

Polinomios y homográficas: gráficos corridos, dominio, imagen y asíntotas

Muchos gráficos son uno básico corrido y estirado: a(x − h)ⁿ + k es xⁿ movido h a la derecha y k para arriba. Una homográfica (ax + b)/(cx + d) es la hipérbola 1/x corrida: no toma un valor de x (su asíntota vertical) ni un valor de y (su asíntota horizontal).

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La explicación

Los dos gráficos básicos: x³ y x⁴

x³ (y toda potencia impar) crece siempre, pasa por el origen, toma todos los valores: Im = ℝ. Cuando x → +∞, x³ → +∞; cuando x → −∞, x³ → −∞.
x⁴ (y toda potencia par) es una U más achatada cerca del 0 que la parábola: nunca es negativa, Im = [0, +∞), y en los dos extremos se va a +∞.

Correr, estirar y dar vuelta: a(x − h)ⁿ + k

Cada número de a(x − h)ⁿ + k hace una sola cosa sobre el gráfico de xⁿ:

h: corre el gráfico h a la derecha (a la izquierda si h < 0)
k: lo sube k (lo baja si k < 0)
a: lo estira; si a < 0, además lo da vuelta

El punto que en xⁿ estaba en el origen ahora está en (h, k). De ahí sale todo:

n impar: la imagen sigue siendo ℝ. Si a > 0 el comportamiento es el de x³; si a < 0, se invierte: f → −∞ cuando x → +∞.
n par: si a > 0, Im = [k, +∞) y f → +∞ en los dos extremos; si a < 0, Im = (−∞, k] y f → −∞ en los dos.
Ceros: a(x − h)ⁿ + k = 0 da (x − h)ⁿ = −k/a. Con n impar hay siempre uno; con n par hay dos si −k/a > 0 (con el ±), uno si k = 0 y ninguno si −k/a < 0.

Ejemplo: g(x) = −2(x − 1)³ + 16 es x³ corrida a (1, 16) y dada vuelta. Im = ℝ; cuando x → +∞, g → −∞. Su cero: (x − 1)³ = 8, x − 1 = 2, x = 3.

La hipérbola 1/x y sus corrimientos

La función 1/x no está definida en 0 y nunca vale 0: Dom = ℝ − {0} e Im = ℝ − {0}. Cerca de x = 0 se dispara (para arriba por la derecha, para abajo por la izquierda) y en los extremos se aplasta contra el eje x. Esas dos rectas que el gráfico nunca toca son sus asíntotas: la vertical x = 0 y la horizontal y = 0.

La forma corrida A/(x − h) + k mueve todo eso al punto (h, k):

Dom = ℝ − {h} · Im = ℝ − {k}
asíntota vertical: x = h · horizontal: y = k

Cuando x → +∞ o x → −∞, la fracción A/(x − h) se achica y f se acerca a k: ése es el comportamiento en el infinito.

Pasar una homográfica a la forma corrida

Una homográfica es f(x) = (ax + b)/(cx + d), con c ≠ 0. Se lleva a la forma corrida dividiendo: se escribe el numerador como un múltiplo del denominador más un resto.

1. El denominador se anula en x = −d/c: ése es el valor que falta en el dominio y la asíntota vertical.
2. Escribí ax + b = (a/c)(cx + d) + r, y calculá el resto r.
3. Queda f(x) = a/c + r/(cx + d): la asíntota horizontal es y = a/c.
4. El cero, si hace falta, sale del numerador: ax + b = 0 (y controlando que no anule el denominador).

(4x − 5)/(x − 2) = [4(x − 2) + 3]/(x − 2)
= 4 + 3/(x − 2)

Es la hipérbola 3/x corrida al centro (2, 4): Dom = ℝ − {2}, Im = ℝ − {4}, asíntotas x = 2 e y = 4, y en ±∞ la función se acerca a 4. Su cero es 5/4.

El control que conviene hacer siempre

Probá un número grande: con x = 1000, (4x − 5)/(x − 2) = 3995/998 ≈ 4,003, pegado a la asíntota horizontal ✔. Y el valor que sacaste del dominio tiene que anular el denominador de la fórmula original, no el de la corrida mal hecha. En un polinomio corrido, evaluá en x = h: tiene que dar k.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

a) Sea g(x) = −2(x − 1)³ + 16. Dar su imagen, su comportamiento en +∞ y en −∞, y su cero. b) Sea f(x) = (4x − 5)/(x − 2). Escribirla en forma corrida y dar su dominio, su imagen, sus asíntotas y su comportamiento en el infinito.

a) Es x³ corrida 1 a la derecha y 16 para arriba, estirada por 2 y dada vuelta (a = −2 < 0).

Im(g) = ℝ
x → +∞: g(x) → −∞ · x → −∞: g(x) → +∞

El cero: −2(x − 1)³ + 16 = 0 → (x − 1)³ = 8 → x − 1 = 2 → x = 3. Control: −2·8 + 16 = 0 ✔. Con potencia impar hay un solo cero y no hace falta el ±.

b) El denominador se anula en x = 2. Se divide: 4x − 5 = 4(x − 2) + 3.

f(x) = 4 + 3/(x − 2)

Dom = ℝ − {2}; asíntota vertical x = 2.
3/(x − 2) nunca vale 0, así que f nunca vale 4: Im = ℝ − {4}; asíntota horizontal y = 4.
En +∞ y en −∞, f(x) se acerca a 4.

Control: f(1000) = 3995/998 ≈ 4,003 ✔. Y el cero, 4x − 5 = 0 → x = 5/4, no anula el denominador ✔.

Dónde se pierde el punto: tomar como asíntota horizontal el −5 o el −5/−2 = 5/2 (los términos independientes). La horizontal sale de dividir los coeficientes de x: 4/1.

Y uno del nivel del parcial

Sea f(x) = (6x − 1)/(2x + 4). Escribirla en forma corrida, dar el dominio, la imagen, las asíntotas y el cero, y decidir de qué lado de la asíntota horizontal está el gráfico para x > −2.

El dominio. 2x + 4 = 0 en x = −2: Dom = ℝ − {−2}, asíntota vertical x = −2.

La división. a/c = 6/2 = 3. Se escribe 6x − 1 = 3(2x + 4) − 13:

f(x) = 3 − 13/(2x + 4) = 3 − (13/2)/(x + 2)

La fracción nunca vale 0: Im = ℝ − {3}, asíntota horizontal y = 3. En ±∞, f se acerca a 3.

El cero: 6x − 1 = 0 → x = 1/6 (no anula el denominador ✔).

De qué lado. Para x > −2, el denominador 2x + 4 es positivo, así que −13/(2x + 4) es negativo y f(x) = 3 − (algo positivo) < 3: el gráfico está por debajo de y = 3. Control: f(0) = −1/4 < 3 ✔, y el cero 1/6 está en esa rama, como tiene que ser si la rama cruza el eje x.

Dónde se pierde el punto: decir que la asíntota horizontal es y = 6, olvidándose del 2 que multiplica a la x abajo.

Dónde se cae la mayoría

Correr para el lado equivocado: (x + 2)³ está corrida 2 a la IZQUIERDA, porque x − h con h = −2.
Dar Im = ℝ para una potencia par: a(x − h)⁴ + k tiene un mínimo (o un máximo) en k y no toma lo que está del otro lado.
En una homográfica, confundir la asíntota horizontal con el término independiente: en (ax + b)/(cx + d) es a/c, el cociente de los coeficientes de x.
Sacar del dominio el cero del numerador: lo que falta es el x que anula el DENOMINADOR.
Olvidarse del ± al despejar una potencia par: (x + 1)⁴ = 4 tiene dos soluciones.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Una homográfica, su inversa y su composición con eˣ20 puntos · resuelto paso a paso

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