Análisis Matemático (72) · Unidad 2 — Funciones

Exponenciales y logaritmos: gráficos, dominio, ceros y signo

eˣ es siempre positiva y crece; ln x sólo existe para x > 0 y es la que deshace a eˣ. Corridas, cada una tiene una asíntota (horizontal la exponencial, vertical el logaritmo), y sus ceros y su signo se despejan pasando de una a la otra: eᵘ = k da u = ln k, y ln u = k da u = eᵏ.

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La explicación

La exponencial eˣ

El número e ≈ 2,718 es la base que se usa en economía para el crecimiento continuo. La función eˣ:

está definida en todo ℝ y siempre es positiva: Im = (0, +∞);
vale 1 en x = 0 y es creciente;
cuando x → −∞ se pega al eje x (asíntota horizontal y = 0) y cuando x → +∞ se dispara.

e⁻ˣ es la misma curva reflejada: decrece, y la asíntota queda del lado de +∞.

El logaritmo natural ln x

ln x es el exponente al que hay que elevar e para obtener x: ln x = y significa eʸ = x. Por eso:

sólo existe para x > 0: Dom = (0, +∞), e Im = ℝ;
ln 1 = 0 y ln e = 1; es creciente;
es negativo entre 0 y 1 y positivo para x > 1;
cerca de 0 se va a −∞: asíntota vertical x = 0.

ln(a·b) = ln a + ln b · ln(a/b) = ln a − ln b
ln(aʳ) = r·ln a · e^(ln u) = u · ln(eᵘ) = u

Las formas corridas

f(x) = a·e^(bx + c) + d. La potencia es siempre positiva, así que f nunca vale d: si a > 0, Im = (d, +∞); si a < 0, Im = (−∞, d). La asíntota horizontal es y = d, del lado de −∞ si b > 0 y del lado de +∞ si b < 0 (porque ahí es donde la potencia se achica).

f(x) = a·ln(bx + c) + d. Lo de adentro tiene que ser positivo: el dominio sale de bx + c > 0. La imagen es ℝ y la asíntota vertical es la recta donde bx + c = 0.

Ceros y signo, despejando

La exponencial y el logaritmo son crecientes, así que se pueden aplicar a los dos lados de una desigualdad sin darla vuelta:

eᵘ = k (k > 0) ⇔ u = ln k · eᵘ > k ⇔ u > ln k
ln u = k ⇔ u = eᵏ · ln u > 0 ⇔ u > 1
ln u < 0 ⇔ 0 < u < 1

Si queda eᵘ = k con k ≤ 0, no hay solución: la exponencial nunca es negativa ni cero.

1. Dominio: cada ln pide su argumento > 0; cada raíz, ≥ 0; cada denominador, ≠ 0 (un ln en el denominador pide además argumento ≠ 1). Resolvé esas inecuaciones (de producto o de cociente, como en la unidad 1) y juntalas.
2. Ceros: igualá a 0, despejá la exponencial o el logaritmo solo, y pasá al otro lado.
3. Signo: planteá f(x) > 0 y despejá igual, intersecando con el dominio.

Ejemplo: g(x) = ln(2x + 6). Dominio: 2x + 6 > 0, x > −3. Cero: 2x + 6 = 1, x = −5/2. Negatividad: 0 < 2x + 6 < 1, o sea (−3, −5/2); positividad: (−5/2, +∞).

El control que conviene hacer siempre

Probá un punto de cada conjunto que encontraste, con la calculadora: si decís que f es positiva en (−5/2, +∞), g(0) = ln 6 ≈ 1,79 tiene que ser positivo. Y el cero tiene que estar en el dominio: un x que anula la fórmula pero hace negativo el argumento del ln no es un cero.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

a) Sea f(x) = 3 − e^(2x − 4). Dar su imagen y su asíntota, su cero y su conjunto de positividad. b) Sea g(x) = ln(2x + 6). Dar su dominio, su cero y su conjunto de negatividad.

a) e^(2x − 4) > 0 siempre, así que f(x) = 3 − (algo positivo) < 3: Im = (−∞, 3). Cuando x → −∞ la potencia se achica y f se acerca a 3: asíntota horizontal y = 3.

El cero:

3 − e^(2x − 4) = 0 → e^(2x − 4) = 3
2x − 4 = ln 3 → x = (4 + ln 3)/2 ≈ 2,55

Positividad: 3 − e^(2x − 4) > 0 ⇔ e^(2x − 4) < 3 ⇔ 2x − 4 < ln 3 ⇔ x < (4 + ln 3)/2. Es (−∞, (4 + ln 3)/2). Control: f(0) = 3 − e⁻⁴ ≈ 2,98 > 0 ✔.

b) Dominio: 2x + 6 > 0 ⇔ x > −3, Dom = (−3, +∞). Cero: ln(2x + 6) = 0 ⇔ 2x + 6 = 1 ⇔ x = −5/2.

Negatividad: ln u < 0 ⇔ 0 < u < 1, o sea 0 < 2x + 6 < 1: (−3, −5/2). Control: g(−2,75) = ln(0,5) ≈ −0,69 < 0 ✔.

Dónde se pierde el punto: en b), buscar el cero con 2x + 6 = 0. Eso da x = −3, que ni siquiera está en el dominio: ln 0 no existe.

Y uno del nivel del parcial

Sea f(x) = √(8 − 2x)/ln(x + 2). a) Hallar su dominio como unión de intervalos. b) Dar el supremo y el ínfimo del dominio, y decir si son máximo y mínimo.

Tres condiciones, una por cada pieza:

raíz: 8 − 2x ≥ 0 → x ≤ 4
ln: x + 2 > 0 → x > −2
denominador: ln(x + 2) ≠ 0 → x + 2 ≠ 1 → x ≠ −1

Juntas: Dom(f) = (−2, −1) ∪ (−1, 4].

Supremo e ínfimo. El conjunto está entre −2 y 4: sup = 4, que pertenece (es el máximo: f(4) = 0/ln 6 = 0), e inf = −2, que no pertenece (ln 0 no existe), así que no hay mínimo. El agujero en −1 no cambia ni el supremo ni el ínfimo.

Control: x = 0 está: √8/ln 2 ≈ 4,08 ✔. x = −1 no: ln 1 = 0 en el denominador ✔.

Dónde se pierde el punto: olvidarse de que un ln en el denominador puede valer 0. La condición «argumento > 0» es la del ln; la de «≠ 1» es la de la división.

Dónde se cae la mayoría

Creer que eˣ puede valer 0 o ser negativa: e^(algo) es siempre positivo, y por eso la imagen de a·eᵘ + d deja afuera a d.
Poner el dominio del ln con ≥: ln 0 no existe, el argumento tiene que ser estrictamente positivo.
Igualar el argumento del ln a 0 para buscar el cero: ln u = 0 cuando u = 1.
Despejar mal: de 2e^(x + 1) = 8 se pasa primero el 2 dividiendo (e^(x + 1) = 4) y después se aplica ln.
Olvidarse de intersecar con el dominio al dar el signo de un logaritmo.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Una homográfica, su inversa y su composición con eˣ20 puntos · resuelto paso a paso
Primer parcial — Una partida que salta, y una senoidal corrida15 puntos · resuelto paso a paso

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