Análisis Matemático (72) · Unidad 2 — Funciones

Función cuadrática: vértice, signo, imagen y la cuadrática por datos

El gráfico de f(x) = ax² + bx + c es una parábola: abre para arriba si a > 0 y para abajo si a < 0. Todo sale del vértice (el máximo o el mínimo, donde cambia el crecimiento) y de los ceros (donde cambia el signo).

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La explicación

Tres formas de escribir la misma función

Una función cuadrática se puede presentar de tres maneras, y cada una muestra algo a simple vista:

polinómica: f(x) = ax² + bx + c
canónica: f(x) = a(x − h)² + k
factorizada: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

El número a es el mismo en las tres: si a > 0 la parábola abre para arriba (tiene mínimo), si a < 0 abre para abajo (tiene máximo).
La canónica muestra el vértice V = (h, k). Ojo con el signo: en a(x − h)², la h va con el signo cambiado respecto de lo que se ve; 3(x + 2)² − 1 tiene vértice (−2, −1).
La factorizada muestra los ceros x₁ y x₂. No todas las cuadráticas la tienen: si la parábola no toca el eje x, no hay ceros reales.
La polinómica muestra la ordenada al origen: f(0) = c.

El vértice y los ceros desde la forma polinómica

h = −b/(2a) · k = f(h)
x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a)

El vértice está justo en el medio de los dos ceros (la parábola es simétrica), así que si ya tenés los ceros, h = (x₁ + x₂)/2. El discriminante b² − 4ac dice cuántos ceros hay: positivo, dos; cero, uno (el vértice toca el eje); negativo, ninguno.

Todo lo que se lee de una parábola

1. Mirá el signo de a: ¿abre para arriba o para abajo?
2. Hallá el vértice (h, k).
3. Hallá los ceros, si hay.
4. Imagen: si a > 0, [k, +∞); si a < 0, (−∞, k].
5. Crecimiento: si a > 0 decrece en (−∞, h) y crece en (h, +∞); si a < 0, al revés.
6. Signo: con dos ceros y a > 0, es negativa entre los ceros y positiva afuera; con a < 0, positiva entre los ceros y negativa afuera.

Ejemplo: f(x) = −2x² + 8x + 10. Como a = −2, abre para abajo. h = −8/(−4) = 2 y k = f(2) = −8 + 16 + 10 = 18: el vértice es (2, 18) y es un máximo. Los ceros: −2(x² − 4x − 5) = −2(x − 5)(x + 1), o sea −1 y 5. La imagen es (−∞, 18], crece en (−∞, 2) y decrece en (2, +∞); es positiva en (−1, 5) y negativa en (−∞, −1) ∪ (5, +∞).

La cuadrática por sus datos

Si te dan los ceros y algún dato más (la imagen, un punto), se arranca por la factorizada, que ya tiene los ceros adentro, y se busca a:

«Conjunto de positividad (−4, 2)» dice que los ceros son −4 y 2 y que entre ellos la función es positiva: a < 0.
«Im = (−∞, 18]» dice que el máximo es 18: el vértice, que está en el medio de los ceros (x = −1), tiene altura 18.
Con f(x) = a(x + 4)(x − 2) y f(−1) = 18: a·3·(−3) = 18, a = −2.

Parábola con recta y parábola con parábola

Como con las rectas, los puntos comunes salen de igualar: f(x) = g(x). Con una parábola y una recta queda una cuadrática igualada a 0, que puede tener dos, una o ninguna solución. Con dos parábolas también, salvo que tengan el mismo a: entonces el x² se cancela y queda una ecuación lineal, con un solo punto de corte.

x² + 3x − 1 = x² − x + 7
4x = 8 → x = 2 → punto (2, 9)

Cada x que sale se reemplaza en cualquiera de las dos para tener la altura: los puntos de corte son pares (x, y).

El control que conviene hacer siempre

El vértice tiene que estar en el medio de los ceros, y su altura tiene que ser la punta de la imagen. Si abre para abajo y te dio un mínimo, algo está mal. En una intersección, reemplazá cada x en las dos funciones: tienen que dar la misma altura.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea f(x) = −2x² + 8x + 10. Hallar el vértice y escribir la forma canónica; hallar los ceros, los conjuntos de positividad y de negatividad, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y la imagen.

Vértice. a = −2, b = 8: h = −8/(2·(−2)) = 2 y k = f(2) = −8 + 16 + 10 = 18.

V = (2, 18) · f(x) = −2(x − 2)² + 18

Control: −2(x² − 4x + 4) + 18 = −2x² + 8x − 8 + 18 = −2x² + 8x + 10 ✔

Ceros. Se saca −2 de factor común: −2(x² − 4x − 5) = −2(x − 5)(x + 1). Ceros: −1 y 5. El vértice, x = 2, está en el medio ✔.

Signo. Como abre para abajo, está por arriba del eje entre los ceros:

positividad: (−1, 5)
negatividad: (−∞, −1) ∪ (5, +∞)

Control: f(0) = 10 > 0 ✔ y f(6) = −72 + 48 + 10 = −14 < 0 ✔.

Crecimiento. Abre para abajo: crece en (−∞, 2) y decrece en (2, +∞). Máximo: 18, en x = 2.

Imagen: (−∞, 18].

Dónde se pierde el punto: dar la positividad afuera de los ceros por costumbre. Eso vale cuando a > 0; con a = −2 es al revés.

Y uno del nivel del parcial

Hallar la función cuadrática f cuyo conjunto de positividad es (−4, 2) y cuya imagen es (−∞, 18]. Después, hallar los puntos donde su gráfico corta al de la recta g(x) = 2x + 16.

Los datos, traducidos. Positiva sólo en (−4, 2): los ceros son −4 y 2, y es positiva entre ellos, así que abre para abajo (a < 0). La imagen (−∞, 18] dice que el máximo es 18, en el vértice, que está en el medio: x = (−4 + 2)/2 = −1.

f(x) = a(x + 4)(x − 2)
f(−1) = a·3·(−3) = −9a = 18 → a = −2
f(x) = −2(x + 4)(x − 2) = −2x² − 4x + 16

a = −2 < 0, como se esperaba ✔.

El corte con la recta.

−2x² − 4x + 16 = 2x + 16
−2x² − 6x = 0 → −2x(x + 3) = 0
x = 0 o x = −3

Alturas: g(0) = 16 y g(−3) = 10. Control en f: f(0) = 16 ✔ y f(−3) = −18 + 12 + 16 = 10 ✔. Los puntos son (0, 16) y (−3, 10).

Dónde se pierde el punto: dividir −2x² − 6x = 0 por x para «simplificar»: se pierde la solución x = 0. Se saca factor común.

Dónde se cae la mayoría

Leer el vértice de a(x − h)² + k con el signo de h equivocado: 3(x + 2)² − 1 tiene vértice en x = −2, no en x = 2.
Dar el signo sin mirar a: con a < 0 la parábola es positiva ENTRE los ceros, no afuera.
Escribir la imagen desde el vértice para el lado equivocado: con máximo k, la imagen es (−∞, k], no [k, +∞).
En la cuadrática por datos, armar a(x − x₁)(x − x₂) y olvidarse de calcular a: la forma factorizada lleva el coeficiente principal adelante.
Al cortar parábola y recta, quedarse con las x y no dar los puntos, o calcular la altura en una sola de las dos sin controlar.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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