Análisis Matemático (72) · Unidad 2 — Funciones

Oferta, demanda y equilibrio de mercado

En esta materia la demanda y la oferta dan el PRECIO en función de la CANTIDAD: p = D(q) y p = O(q). La demanda baja (cuanto más caro, menos se compra) y la oferta sube (cuanto más se paga, más se quiere vender). Donde se cruzan está el equilibrio: la cantidad q₀ y el precio p₀ en los que lo que se ofrece coincide con lo que se demanda.

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La explicación

La convención de la materia: el precio en función de la cantidad

Un mercado tiene dos lados. Los compradores y los vendedores de un mismo producto reaccionan al precio de maneras opuestas, y cada lado se describe con una función. En esta materia, las dos se escriben con el precio en función de la cantidad:

demanda: p = D(q) · oferta: p = O(q)

D(q) es el precio por unidad al que los compradores están dispuestos a llevarse q unidades; O(q), el precio al que los productores están dispuestos a vender q unidades. Si una yerbatera tiene D(200) = 3000, quiere decir que a $ 3000 el paquete se demandan 200 paquetes (no que 200 paquetes cuestan 3000).

La demanda es decreciente: para vender más unidades hay que bajar el precio. D(0) es el precio al que ya nadie compra.
La oferta es creciente: a mejor precio, más ganas de producir. O(0) es el precio por debajo del cual el productor no ofrece nada.
El dominio económico: q ≥ 0 y p ≥ 0. Una demanda lineal D(q) = 3500 − 2,5q tiene sentido para 0 ≤ q ≤ 1400, porque en q = 1400 el precio llega a 0.

Las dos preguntas: evaluar y despejar

Con p = D(q) se contestan dos cosas distintas, y conviene no mezclarlas:

«¿A qué precio se demandan 400 unidades?»: se evalúa, D(400).
«¿Cuántas unidades se demandan si el precio es $ 2500?»: se despeja q de D(q) = 2500.

Demanda y oferta lineales por dos datos

Los datos vienen como pares (cantidad, precio). Se arma la recta por dos puntos, igual que en 2.2, con q en el lugar de x y p en el de y:

1. Escribí los datos como puntos (q, p): «a $ 3000 se venden 200» es (200, 3000).
2. Pendiente: m = (p₂ − p₁)/(q₂ − q₁). En una demanda tiene que dar negativa; en una oferta, positiva.
3. Ordenada: reemplazá un punto en p = mq + b.
4. Controlá el otro dato y el signo de la pendiente.

El equilibrio de mercado

El mercado está en equilibrio cuando el precio al que los compradores quieren llevarse q unidades es el mismo al que los productores quieren venderlas:

O(q) = D(q) → q₀ (cantidad de equilibrio)
p₀ = D(q₀) = O(q₀) (precio de equilibrio)

El punto de equilibrio es P = (q₀, p₀): el cruce de los dos gráficos. Con D(q) = 3500 − 2,5q y O(q) = 2q + 800, queda 3500 − 2,5q = 2q + 800, o sea 4,5q = 2700, q₀ = 600 y p₀ = 2000.

Fuera del equilibrio. Si el precio se fija por encima de p₀, los productores quieren vender más de lo que los compradores quieren comprar: sobra mercadería, hay exceso de oferta. Si se fija por debajo, falta: hay exceso de demanda. El tamaño del exceso es la diferencia entre las dos cantidades a ese precio. Con los números de arriba, a $ 2600 se demandan (3500 − 2600)/2,5 = 360 paquetes y se ofrecen (2600 − 800)/2 = 900: sobran 540.

Armar las dos desde el equilibrio

A veces el dato es el equilibrio y un punto de cada curva: «el productor no ofrece nada a $ 900» es O(0) = 900; «a $ 4500 nadie compra» es D(0) = 4500. Cada recta sale de dos puntos: el de su ordenada al origen y el de equilibrio, que es común a las dos.

El mismo modelo en una tarifa

Un servicio que cobra un cargo fijo más un monto por unidad (por hora, por día) es una función lineal f(x) = mx + b: m es el precio por unidad (lo que agrega cada hora más) y b es el cargo fijo (lo que se paga aunque x fuera 0). Con dos facturas se arma igual que una demanda.

El control que conviene hacer siempre

El equilibrio tiene que cumplir las dos ecuaciones: calculá D(q₀) y O(q₀) por separado y tienen que dar el mismo precio. Y tiene que tener sentido: q₀ > 0, p₀ > 0, y p₀ entre O(0) y D(0). Si la demanda te dio creciente, invertiste algún par (cantidad, precio).

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Una yerbatera sabe que por semana se demandan 200 paquetes de 1 kg cuando el precio es $ 3000 y 1000 paquetes cuando es $ 1000. Está dispuesta a ofrecer 100 paquetes a $ 1000 cada uno y 400 paquetes a $ 1600. Suponiendo que las dos funciones son lineales, hallar la demanda p = D(q) con su dominio, la oferta p = O(q), el punto de equilibrio y qué pasa si el precio se fija en $ 2600.

Demanda. Los datos, como (cantidad, precio): (200, 3000) y (1000, 1000).

m = (1000 − 3000)/(1000 − 200) = −2000/800 = −2,5
3000 = −2,5·200 + b → b = 3500
D(q) = 3500 − 2,5q

Pendiente negativa, como tiene que ser. Precio y cantidad no negativos: 3500 − 2,5q ≥ 0 da q ≤ 1400. Dom = [0, 1400].

Oferta. Con (100, 1000) y (400, 1600): m = 600/300 = 2 y 1000 = 200 + b, b = 800. O(q) = 2q + 800.

Equilibrio.

3500 − 2,5q = 2q + 800
2700 = 4,5q → q₀ = 600
p₀ = O(600) = 1200 + 800 = 2000

Control: D(600) = 3500 − 1500 = 2000 ✔. El punto de equilibrio es P = (600, 2000): 600 paquetes por semana a $ 2000 cada uno.

A $ 2600 (arriba de p₀): se demandan (3500 − 2600)/2,5 = 360 paquetes y se ofrecen (2600 − 800)/2 = 900. Hay exceso de oferta de 540 paquetes.

Dónde se pierde el punto: armar la demanda con (3000, 200) y (1000, 1000), precio primero. Sale una recta de pendiente −0,4 que no es la demanda de esta materia: acá el precio es el que depende de la cantidad.

Y uno del nivel del parcial

En el mercado de las bicicletas urbanas de una fábrica, el equilibrio se da con 120 bicicletas por mes a $ 450 mil cada una. El fabricante no ofrece ninguna a $ 150 mil, y a $ 810 mil ya no las compra nadie. Suponiendo oferta y demanda lineales (p en miles de pesos), hallar las dos funciones y decidir qué pasa si el precio se fija en $ 540 mil.

Los datos como puntos (q, p). El equilibrio (120, 450) está en las dos rectas. «No ofrece a 150» es O(0) = 150; «nadie compra a 810» es D(0) = 810.

O: (0, 150) y (120, 450) → m = 300/120 = 2,5
O(q) = 2,5q + 150
D: (0, 810) y (120, 450) → m = −360/120 = −3
D(q) = 810 − 3q

Control del equilibrio: O(120) = 300 + 150 = 450 y D(120) = 810 − 360 = 450 ✔.

A $ 540 mil, arriba del precio de equilibrio:

demanda: 810 − 3q = 540 → q = 90
oferta: 2,5q + 150 = 540 → q = 156

Se ofrecen 156 bicicletas y se demandan 90: exceso de oferta de 66 bicicletas por mes. Para venderlas todas, el fabricante tendría que bajar el precio hacia el de equilibrio.

Dónde se pierde el punto: usar el equilibrio como si fuera la ordenada. La ordenada de cada recta es su valor en q = 0: ése es el dato de «no ofrece» y «nadie compra».

Dónde se cae la mayoría

Escribir los datos al revés, como (precio, cantidad): en esta materia p = D(q), así que el punto es (cantidad, precio).
Leer D(200) = 3000 como «200 unidades cuestan 3000 en total»: es el precio de CADA unidad cuando se demandan 200.
Evaluar cuando había que despejar: «¿cuántas unidades a $ 2500?» se contesta resolviendo D(q) = 2500, no calculando D(2500).
Dar sólo q₀ como equilibrio: el punto de equilibrio es (q₀, p₀), con el precio incluido.
Confundir los excesos: con el precio por encima del de equilibrio sobra mercadería (exceso de oferta), no falta.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — El mercado de los termos20 puntos · resuelto paso a paso

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