Análisis Matemático (72) · Unidad 2 — Funciones
Ingreso, costo y ganancia; el equilibrio con curvas que no son rectas
El ingreso total es precio por cantidad, I(q) = q·D(q), y la ganancia es lo que queda después de pagar los costos, G(q) = I(q) − C(q). Con una demanda lineal las dos son parábolas que abren para abajo, y su máximo está en el vértice. Y cuando la oferta o la demanda no son rectas, el equilibrio sale de una cuadrática de la que se descarta la solución sin sentido económico.
La explicación
El ingreso total: precio por cantidad
Si se venden q unidades al precio que marca la demanda, cada una se cobra D(q) y el ingreso total es
No es D(q): D(q) es lo que se cobra por una unidad. Con una demanda lineal, D(q) = 800 − 2q, el ingreso es I(q) = q(800 − 2q) = 800q − 2q², una parábola que abre para abajo. Tiene sentido: si se vende muy poco se cobra caro pero se junta poco; si se quiere vender mucho hay que bajar tanto el precio que el ingreso también cae. Se anula en q = 0 y donde el precio llega a 0 (q = 400), y el máximo está en el medio: q = 200, con I(200) = 200·400 = 80 000.
Costo y ganancia
El costo total C(q) suele tener una parte fija (alquiler, sueldos: se pagan aunque no se produzca nada) y una que crece con q. La ganancia es
Con I cuadrática y C lineal o cuadrática, G es otra parábola. Lo que se lee en ella:
- Los puntos donde I = C (G = 0) son los puntos de equilibrio de la empresa: ahí no se gana ni se pierde. No hay que confundirlos con el equilibrio de mercado (O = D).
- Entre esos dos puntos G > 0 (hay ganancia); afuera, G < 0 (hay pérdida).
- El máximo de G está en su vértice: q* = −b/(2a) y G(q*). El precio al que conviene vender es D(q*).
La cantidad que maximiza la ganancia no es la que maximiza el ingreso. Pasado cierto punto, vender una unidad más todavía agrega ingreso, pero agrega todavía más costo. Con los números de arriba y C(q) = 25 000 + 200q, el ingreso es máximo en q = 200, pero la ganancia es máxima en q = 150.
2. Restá el costo entero, con paréntesis: G(q) = I(q) − (costo fijo + costo variable).
3. Con G(q) = aq² + bq + c (a < 0), el máximo está en q* = −b/(2a).
4. Calculá G(q*) y, si lo piden, el precio D(q*).
5. Contestá en el contexto: cuántas unidades, a qué precio, cuánta ganancia.
El equilibrio de mercado con curvas
El equilibrio sigue siendo O(q) = D(q), pero si alguna de las dos no es una recta, al igualar queda una cuadrática:
- Oferta cuadrática (O(q) = 2q² + 300) con demanda lineal: se pasa todo a un miembro y se usa la fórmula.
- Demanda homográfica (D(q) = 7200/(q + 40)): se pasa multiplicando el denominador, que es positivo para q ≥ 0, y queda una cuadrática.
- Oferta con raíz (O(q) = 300√q): conviene llamar s = √q, con s ≥ 0, y queda una cuadrática en s.
Casi siempre salen dos soluciones y una no tiene sentido económico: una cantidad negativa, o una raíz cuadrada negativa. Se descarta y se dice por qué.
7200 = (q/2 + 20)(q + 40)
q² + 80q − 12 800 = 0 → q = 80 o q = −160
Se descarta −160 (no se venden cantidades negativas): q₀ = 80 y p₀ = 7200/120 = 60.
El control que conviene hacer siempre
La ganancia máxima tiene que ser mayor que la de dos cantidades vecinas: calculá G(q* − 10) y G(q* + 10), y las dos tienen que dar menos. El equilibrio tiene que cumplir las dos funciones: D(q₀) y O(q₀) tienen que dar el mismo precio. Y cada respuesta, en su unidad: unidades, pesos por unidad, pesos en total.
Una fábrica de muebles vende mesas de comedor con demanda mensual p = D(q) = 800 − 2q (p en miles de pesos por mesa). Su costo es C(q) = 25 000 + 200q (en miles de pesos). a) Escribir el ingreso y hallar la cantidad que lo maximiza. b) Escribir la ganancia y hallar la cantidad que la maximiza, el precio y la ganancia máxima. c) ¿Entre qué cantidades hay ganancia?
a) I(q) = q(800 − 2q) = −2q² + 800q. Vértice: q = −800/(2·(−2)) = 200, con I(200) = 200·400 = 80 000 (80 millones de pesos).
b) Se resta el costo entero:
= −2q² + 600q − 25 000
Vértice: q* = −600/(−4) = 150 mesas. Precio: D(150) = 800 − 300 = 500 mil pesos por mesa. Ganancia:
La ganancia máxima es de 20 000 miles de pesos (20 millones) por mes. Control: G(140) = 19 800 y G(160) = 19 800, las dos menores ✔.
c) G(q) = 0: −2q² + 600q − 25 000 = 0 → q² − 300q + 12 500 = 0 → q = 50 o q = 250. Como la parábola abre para abajo, hay ganancia entre 50 y 250 mesas: con menos no se cubre el costo fijo; con más, el precio cae demasiado.
Dónde se pierde el punto: contestar 200 en b), la cantidad del ingreso máximo. Con 200 mesas se gana G(200) = 15 000: menos que con 150.
La demanda de cajas de cápsulas de café de una tostadora es p = D(q) = 7200/(q + 40) y la oferta es p = O(q) = q/2 + 20, con q en cientos de cajas y p en miles de pesos. Hallar el punto de equilibrio (cantidad y precio), controlar el precio con las dos curvas y decir cuántas cajas se venden en el equilibrio.
Se igualan y se pasa multiplicando q + 40, que es positivo para q ≥ 0:
7200 = (q/2 + 20)(q + 40) = q²/2 + 40q + 800
q² + 80q − 12 800 = 0
La fórmula: discriminante 6400 + 51 200 = 57 600, raíz 240.
Se descarta q = −160: una cantidad no puede ser negativa. Queda q₀ = 80 (8000 cajas) y p₀ = O(80) = 40 + 20 = 60, o sea $ 60 mil la caja.
Control: D(80) = 7200/120 = 60 ✔. El punto de equilibrio es (80, 60).
Dónde se pierde el punto: al multiplicar, olvidarse de multiplicar el 20 por q + 40 (queda q²/2 + 20 en vez de q²/2 + 40q + 800). Hay que distribuir los dos términos por los dos.
Dónde se cae la mayoría
- Tomar el ingreso como D(q): el ingreso es el precio por la cantidad, I(q) = q·D(q).
- Restar el costo sin paréntesis: I − C con C = 25 000 + 200q es I − 25 000 − 200q, no I − 25 000 + 200q.
- Creer que la ganancia máxima está donde el ingreso es máximo: el costo corre el máximo hacia una cantidad menor.
- Dejar las dos soluciones del equilibrio: la cantidad negativa (o la raíz negativa) no tiene sentido y se descarta.
- Contestar con la cantidad cuando preguntan el precio o la ganancia: q*, D(q*) y G(q*) son tres números distintos.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Ingreso, costo y ganancia; el equilibrio con curvas que no son rectas →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El mercado de los termos20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 2
Funciones
- 2.1 Funciones y gráficos: leer un gráfico, dominio e imagen
- 2.2 Función lineal: pendiente, la recta por datos, paralelas e intersección
- 2.3 Oferta, demanda y equilibrio de mercado
- 2.4 Función cuadrática: vértice, signo, imagen y la cuadrática por datos
- 2.5 Polinomios y homográficas: gráficos corridos, dominio, imagen y asíntotas
- 2.7 Seno y coseno: corrimientos y dilataciones
- 2.8 Composición de funciones y su dominio
- 2.9 Exponenciales y logaritmos: gráficos, dominio, ceros y signo
- 2.10 Función inversa: también de la demanda y la oferta
- 2.11 Funciones definidas por partes