Análisis Matemático (72) · Unidad 1 — Números reales

Cotas, supremo e ínfimo

Una cota superior es un número que ningún elemento del conjunto pasa, y el supremo es la más chica de todas. Puede pertenecer al conjunto (y entonces es el máximo) o no. Para conjuntos dados por una inecuación, primero se resuelve y después se lee.

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La explicación

Para qué sirve

El precio más alto que un mercado acepta, el techo al que se acerca una producción que crece cada vez menos, el valor al que se arrima una suma infinita: son supremos. A veces se alcanzan y a veces no, y esa diferencia —máximo o sólo supremo— es la que más se toma.

Cotas

Un número K es cota superior de A si ningún elemento de A es mayor que K: todos quedan a su izquierda en la recta. Si A tiene alguna, se dice que está acotado superiormente. Lo mismo por abajo: una cota inferior es un número que ningún elemento pasa por debajo.

Las cotas son infinitas: de A = (−∞, 2) son cotas superiores el 2, el 3, el 100 y cualquier número ≥ 2. Por eso la pregunta interesante no es «¿tiene una cota?» sino «¿cuál es la más chica?».

Supremo e ínfimo

sup(A) = la MENOR de las cotas superiores
inf(A) = la MAYOR de las cotas inferiores

Supremo no es lo mismo que máximo. El máximo tiene que pertenecer al conjunto; el supremo no tiene por qué. Si el supremo pertenece, es el máximo; si no, el conjunto no tiene máximo.

En [0, 5), el 5 es la menor cota superior (el conjunto se acerca a 5 tanto como quieras), pero el 5 no está adentro: sup = 5 y no hay máximo. El 0 sí está: es ínfimo y mínimo a la vez.

La regla corta para intervalos: extremo cerrado → es máximo o mínimo; extremo abierto → es sólo supremo o ínfimo.

Si el conjunto no está acotado de un lado, de ese lado no hay supremo (o ínfimo): (2, +∞) no tiene supremo, y su ínfimo es 2. En una unión se mira el pedazo más a la derecha para el supremo y el más a la izquierda para el ínfimo; un agujero en el medio no cambia nada: (−3, 0) ∪ (0, 6] tiene ínfimo −3 y máximo 6.

Conjuntos que son listas infinitas

{5 − 1/n : n ∈ ℕ} = {4, 9/2, 14/3, 19/4, …}: los elementos crecen y se acercan a 5 sin llegar nunca. Entonces el ínfimo es 4, que es el primero y pertenece (es el mínimo), y el supremo es 5, que no pertenece: no hay máximo. Igual con {2,1 ; 2,01 ; 2,001 ; …}, que decrece hacia 2: el máximo es 2,1 y el ínfimo es 2, que no se alcanza. La forma de saber cuál es el supremo es preguntarse a qué número se arriman los elementos y si alguno lo alcanza.

Conjuntos dados por una inecuación

1. Resolvé la inecuación (con módulo, con producto o con cociente, como en los temas anteriores).
2. Escribí el conjunto como intervalo o unión de intervalos.
3. Leé: supremo es el extremo más a la derecha (si es finito), ínfimo el más a la izquierda.
4. Mirá si cada uno pertenece: ahí se decide si además son máximo y mínimo.

Para A ∪ B o A ∩ B, primero se resuelven A y B por separado, se opera y recién después se lee. Un error en la inecuación arrastra el supremo, así que conviene controlar el conjunto antes de leer nada.

El control que conviene hacer siempre

Para el supremo, dos preguntas: ¿ningún elemento lo pasa? (es cota) y ¿hay elementos tan cerca como quieras? (es la menor). Para decir si es máximo, reemplazalo en la condición que define al conjunto: si la cumple, pertenece.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar, si existen, el supremo y el ínfimo de A = {x ∈ ℝ : (x + 2)/(x − 3) ≤ −1}, y decidir si son máximo y mínimo.

1. Se resuelve la inecuación. Todo a un miembro y una sola fracción, sin multiplicar por x − 3:

(x + 2)/(x − 3) + 1 ≤ 0
(x + 2 + x − 3)/(x − 3) ≤ 0
(2x − 1)/(x − 3) ≤ 0

2. Ceros y signos. El numerador se anula en 1/2 y el denominador en 3. Con x = 0: (−1)/(−3) > 0; con x = 1: 1/(−2) < 0; con x = 4: 7/1 > 0. El cociente es ≤ 0 entre los ceros, con el 1/2 incluido y el 3 afuera:

A = [1/2, 3)

3. Se lee. Está acotado de los dos lados:

sup(A) = 3 · inf(A) = 1/2

4. ¿Pertenecen? El 1/2 sí (corchete): es el mínimo. El 3 no (anula el denominador): A no tiene máximo.

Control en la original: con x = 1/2, (5/2)/(−5/2) = −1 ≤ −1 ✔, así que el 1/2 pertenece. Con x = 2,9, 4,9/(−0,1) = −49 ≤ −1 ✔: hay elementos tan cerca del 3 como se quiera. Con x = 0, 2/(−3) = −2/3, que no es ≤ −1 ✔: los menores que 1/2 quedan afuera.

Dónde se pierde el punto: multiplicar por x − 3 de entrada: sale x + 2 ≥ −x + 3 (si uno se acuerda de dar vuelta) o x ≤ 1/2 (si no), y en cualquiera de los dos casos el conjunto pierde uno de sus bordes y el supremo o el ínfimo salen mal.

Y uno del nivel del parcial

a) Hallar el supremo y el ínfimo de B = {5 − 1/n : n ∈ ℕ}. ¿Tiene máximo? ¿Y mínimo? b) Lo mismo para C = {2,1 ; 2,01 ; 2,001 ; …}. c) ¿Es 4 una cota superior de D = (−1, 3] ∪ {4}? ¿Cuál es el supremo de D?

a) Se escriben los primeros elementos: n = 1 da 4; n = 2, 9/2; n = 3, 14/3; n = 4, 19/4. Crecen, porque cada vez se resta menos, y se arriman a 5: con n = 1000, 5 − 0,001 = 4,999.

inf(B) = 4 = mín(B)
sup(B) = 5, que NO pertenece: no hay máximo

El 5 es cota porque 5 − 1/n < 5 siempre; y es la menor, porque cualquier número más chico, como 4,99, ya lo pasa algún elemento (con n = 200, 5 − 0,005 = 4,995).

b) Ahora decrecen: 2,1 > 2,01 > 2,001 > …, cada uno es 2 más una potencia de 1/10 más chica.

sup(C) = 2,1 = máx(C)
inf(C) = 2, que NO pertenece: no hay mínimo

c) El 4 pertenece a D y ningún elemento lo pasa: es cota superior, y como pertenece, es el máximo. Entonces sup(D) = 4. Que haya un agujero entre 3 y 4 no importa: el supremo lo decide el elemento más a la derecha.

Dónde se pierde el punto: en a), decir que el supremo es 19/4 o «el último»: no hay último elemento, y el supremo no tiene por qué ser un elemento. En c), dar sup(D) = 3 por mirar sólo el intervalo.

Dónde se cae la mayoría

Decir que un conjunto no tiene supremo porque el extremo no pertenece: [0, 5) tiene supremo 5; lo que no tiene es máximo.
Tomar como supremo el infinito: (2, +∞) no tiene supremo, porque no está acotado superiormente.
Leer el supremo antes de resolver bien la inecuación: si el conjunto salió mal, todo lo que se lee de él también.
Confundir «una cota» con «el supremo»: 100 es cota superior de (−∞, 2), pero el supremo es 2.
En {5 − 1/n}, dar 5 como máximo: los elementos se arriman a 5, pero ninguno vale 5.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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