Análisis Matemático (72) · Unidad 1 — Números reales
La recta real e intervalos: unión e intersección
Cada número real es un punto de la recta, y un intervalo es un pedazo de esa recta escrito en forma corta. Unir es quedarse con lo que está en alguno; intersecar, con lo que está en los dos. Todo se decide mirando los extremos.
La explicación
Por qué casi todas las respuestas de la materia son conjuntos
El dominio de una función, los precios para los que la demanda es positiva, los valores de k para los que una serie converge: casi nada de lo que se pregunta en la 72 es un número solo. Es un conjunto de números, y se escribe como intervalo o como unión de intervalos. Si esa escritura no te sale automática, perdés puntos en ejercicios que ya sabías resolver.
Los números en la recta
ℕ = {1, 2, 3, …} son los naturales; ℤ agrega el 0 y los negativos; ℚ son las fracciones; y los reales ℝ son todos esos más los irracionales, como √3, √5 o π, que no se pueden escribir como fracción. Cada real es un punto de la recta, y ordenarlos es ubicarlos: el que está más a la derecha es el mayor.
−7/4 = −1,75 < −5/3 ≈ −1,67
Para comparar dos fracciones negativas conviene pasarlas a decimal o a común denominador: −21/12 < −20/12. El que tiene «más» menos está más a la izquierda.
La notación de intervalos
[a, b) → a ≤ x < b · (a, b] → a < x ≤ b
(−∞, b) → x < b · [a, +∞) → x ≥ a
Corchete: el extremo pertenece. Paréntesis: no pertenece. El menor va siempre a la izquierda. El infinito lleva siempre paréntesis, porque no es un número y no puede pertenecer a ningún conjunto de reales. Y como en la 72 la coma separa los extremos, un extremo decimal se escribe como fracción: (3/2, 4], nunca (1,5, 4].
Un conjunto finito no es un intervalo
{n ∈ ℕ : 3 ≤ n < 7} son los naturales entre 3 y 6: el conjunto {3, 4, 5, 6}, cuatro puntos sueltos en la recta. Escribirlo [3, 7) sería meter todos los reales del medio, como 3,5 o π. Lo mismo con {2n − 1 : n ∈ ℕ, n ≤ 4} = {1, 3, 5, 7}: se calcula cada elemento y se marcan los puntos.
Del lenguaje al intervalo
«Menores que 4» es (−∞, 4). «No mayores que 4» quiere decir «menores o iguales»: (−∞, 4]. «Mayores que −1 y menores o iguales que 5/2» es la doble desigualdad −1 < x ≤ 5/2, o sea (−1, 5/2]. La y pide las dos condiciones a la vez; la ó se conforma con una.
Unión e intersección
- A ∪ B: lo que está en A o en B (en alguno de los dos).
- A ∩ B: lo que está en A y en B a la vez.
2. Marcá todos los extremos en la recta: la parten en tramos.
3. Para cada tramo, y para cada extremo suelto, mirá si está en A, en B o en los dos.
4. Leé el resultado. Un extremo entra en la unión si es de alguno; en la intersección, sólo si es de los dos.
A ∪ B = [−3, 5] · A ∩ B = (0, 2)
Los casos que parecen trampa y son de lo más común:
- Se tocan en un punto. [−3, 1) ∪ [1, 4] = [−3, 4]: el 1 no está en el primero, pero está en el segundo, así que la unión no tiene agujero. Y (−∞, 2] ∩ [2, +∞) = {2}: la intersección es un solo punto.
- Uno contiene al otro. Si B ⊂ A, entonces A ∪ B = A y A ∩ B = B.
- No se tocan. (−∞, 2) ∩ [2, 5] = ∅, el conjunto vacío: no hay ningún número a la vez menor que 2 y mayor o igual que 2.
El control que conviene hacer siempre
Probá los extremos uno por uno, con la definición: ¿el 2 está en A ∩ B? Tiene que estar en A y en B. Y probá un número de adentro de cada tramo. Los errores de este tema casi nunca son de tramos enteros: son un corchete que debía ser paréntesis.
Sean A = (−2, 3], B = [1, 6) y C = (−∞, −2]. Hallar A ∪ B, A ∩ B, A ∪ C y A ∩ C.
Planteo: los extremos −2, 1, 3 y 6 parten la recta en tramos. Para cada tramo y cada extremo se mira en qué conjunto está.
[1, 3]: A y B
(3, 6): sólo B
A ∪ B: todo lo que está en alguno: (−2, 6). El −2 no está en A (paréntesis) ni en B, y el 6 no está en B: los dos quedan con paréntesis.
A ∩ B: lo que está en los dos: [1, 3]. El 1 es de B y también de A (está entre −2 y 3); el 3 es de A (corchete) y de B.
A ∪ C: C llega hasta el −2 incluido y A arranca justo después del −2. Juntos no dejan agujero:
A ∩ C: el único número candidato sería el −2, que es de C pero no de A. No hay nada en común: A ∩ C = ∅.
Control: el 0 está en A y no en B: entra en A ∪ B y no en A ∩ B ✔. El −2 está en C: entra en A ∪ C ✔ y no en A ∩ C, porque A es abierto ahí ✔.
Dónde se pierde el punto: en A ∪ C, escribir (−∞, −2) ∪ (−2, 3], con un agujero en el −2 que no existe (el −2 es de C); y en A ∩ C, contestar {−2} por ver que los dos conjuntos «llegan» al −2.
a) Ordenar de menor a mayor: 5/3, −√2, √3, −7/4, 1/√3. b) Escribir por extensión {n ∈ ℕ : 3 ≤ n < 7} y {2n − 1 : n ∈ ℕ, n ≤ 4}. c) Escribir como intervalo el conjunto de los reales mayores que −5/2 y menores que 4, y su intersección con [0, +∞).
a) En decimal se ve enseguida: 5/3 ≈ 1,667; −√2 ≈ −1,414; √3 ≈ 1,732; −7/4 = −1,75; 1/√3 ≈ 0,577.
El par que más engaña es 5/3 y √3: están a menos de una décima. Para compararlos sin calculadora: (5/3)² = 25/9 ≈ 2,78 y (√3)² = 3, así que 5/3 < √3 (los dos son positivos, y el orden de los cuadrados es el mismo).
b) Se calcula cada elemento. Los naturales con 3 ≤ n < 7 son {3, 4, 5, 6} (el 7 no entra). Para el segundo, se reemplaza n = 1, 2, 3, 4 en 2n − 1: {1, 3, 5, 7}. Los dos son conjuntos de cuatro puntos sueltos, no intervalos.
c) La «y» es una doble desigualdad: −5/2 < x < 4, o sea (−5/2, 4). Intersecarlo con [0, +∞) es quedarse con la parte no negativa:
El 0 entra porque está en los dos; el 4 no, porque no estaba en el primero.
Dónde se pierde el punto: en b), escribir [3, 7) o poner el 7; en c), escribir (0, 4) sin el 0, que sí pertenece a [0, +∞) y a (−5/2, 4).
Dónde se cae la mayoría
- Ponerle corchete al infinito: [2, +∞] está mal; va [2, +∞).
- Escribir un conjunto de naturales como intervalo: {3, 4, 5, 6} no es [3, 6].
- Leer una «y» como unión: «x ≥ 1 y x < 4» es la intersección [1, 4).
- Dejar un agujero en una unión que se toca en un punto: [−3, 1) ∪ [1, 4] no tiene ningún agujero en el 1.
- Escribir un extremo decimal con coma, como (1,5, 4]: con la coma separando extremos no se entiende; se usa 3/2.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar La recta real e intervalos: unión e intersección →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Un cociente, un módulo y el supremo de la intersección15 puntos · resuelto paso a paso
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