Análisis Matemático (72) · Unidad 1 — Números reales
Inecuaciones: lineales, con producto y con cociente
Una inecuación se resuelve como una ecuación hasta que aparece un número negativo multiplicando, que da vuelta el sentido. Con productos y cocientes se miran los signos: se pasa todo a un miembro, se arma una sola fracción y nunca se multiplica por algo que tiene x.
La explicación
Para qué sirve
¿Para qué cantidades la ganancia es positiva? ¿Para qué precios la demanda no se hace negativa? ¿Qué valores de k hacen converger una serie? Todas son inecuaciones, y la respuesta es un conjunto. Esta práctica entrena las tres familias que vuelven toda la materia: lineales, productos y cocientes.
Las reglas de las desigualdades
a < b y c > 0 → a·c < b·c
a < b y c < 0 → a·c > b·c
Sumar o restar cualquier cosa no cambia nada. Multiplicar o dividir por un positivo, tampoco. Multiplicar o dividir por un negativo da vuelta el sentido: de 2 < 5 se pasa a −2 > −5. Es la única diferencia con una ecuación, y es la que más puntos cuesta.
La doble desigualdad y la «ó»
En −3 ≤ 2x + 1 < 9 se opera en los tres miembros a la vez: −4 ≤ 2x < 8 y −2 ≤ x < 4, o sea [−2, 4). Una «ó» entre dos condiciones se resuelve por separado y se unen: «2x < −6 ó x − 1 ≥ 2» da x < −3 ó x ≥ 3, que es (−∞, −3) ∪ [3, +∞).
Productos: la regla de los signos
Un producto es positivo cuando los dos factores tienen el mismo signo, y negativo cuando tienen signos distintos. La forma ordenada de verlo es la tabla de signos:
2. Marcá en la recta los ceros de cada factor: parten la recta en tramos.
3. En cada tramo, el signo de cada factor es fijo: probá un número de adentro.
4. Multiplicá los signos y quedate con los tramos que pide la desigualdad. Los ceros entran si es ≤ o ≥.
Por ejemplo, (x − 2)(x + 3) > 6 no se resuelve igualando cada factor a 6: se pasa el 6, x² + x − 12 > 0, se factoriza, (x + 4)(x − 3) > 0, y recién ahí se miran los signos.
Cocientes: todo a un miembro y una sola fracción
Con x en el denominador la tentación es multiplicar para sacarlo. No se puede: no sabés si lo que multiplica es positivo o negativo, así que no sabés si hay que dar vuelta la desigualdad. El camino seguro:
2. Armá una sola fracción, con común denominador.
3. Ceros del numerador y del denominador en la recta, y tabla de signos como en un producto (el cociente tiene el mismo signo que el producto).
4. El cero del denominador nunca entra en la solución, aunque la desigualdad sea ≤ o ≥.
Un ejemplo de por qué no se multiplica: en 5/x > 2, multiplicar por x da 5 > 2x, o sea x < 5/2, que incluiría a x = −1. Pero 5/(−1) = −5 no es mayor que 2. El error viene de haber multiplicado por un x que puede ser negativo.
El control que conviene hacer siempre
Probá un número de cada tramo en la inecuación original: uno que según vos está en la solución tiene que cumplirla, y uno de afuera no. Y probá los extremos: el que anula un denominador no se puede ni reemplazar.
Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto {x ∈ ℝ : (x + 7)/(x − 1) ≤ 3}.
1. Todo a un miembro. No se multiplica por x − 1: se resta 3.
2. Una sola fracción. Con denominador x − 1, el 3 es 3(x − 1)/(x − 1):
(10 − 2x)/(x − 1) ≤ 0
3. Ceros y signos. El numerador se anula en x = 5 y el denominador en x = 1. Un número de cada tramo:
x = 3: (+)/(+) = +
x = 6: (−)/(+) = − ✔
4. Se lee. Los tramos negativos, más el cero del numerador (la desigualdad es ≤), sin el del denominador:
Control en la original: con x = 0, 7/(−1) = −7 ≤ 3 ✔; con x = 3, 10/2 = 5, que no es ≤ 3 ✔ (queda afuera); con x = 5, 12/4 = 3 ≤ 3 ✔.
Dónde se pierde el punto: multiplicar por x − 1 de entrada. Sale x + 7 ≤ 3x − 3, o sea x ≥ 5, y se pierde toda la semirrecta (−∞, 1), donde x − 1 es negativo y la desigualdad se daba vuelta.
Escribir como intervalo o unión de intervalos: a) {x ∈ ℝ : (3 − x)(2x + 1) ≥ 0} ; b) {x ∈ ℝ : (x − 2)(x + 3) > 6}.
a) Ya es un producto contra cero. Los ceros son x = 3 y x = −1/2. En los tres tramos:
x = 0: los dos positivos → +
x = 4: (3 − x) < 0, (2x + 1) > 0 → −
Se queda con el tramo positivo y, como es ≥, con los dos ceros: [−1/2, 3].
b) No es un producto contra cero, así que no se puede leer así. Se pasa el 6 y se desarrolla:
(x + 4)(x − 3) > 0
Ahora sí: los ceros son −4 y 3; el producto es positivo afuera de ellos (con x = 0 da −12, negativo; con x = 5 da 18, positivo). Como es estricta, los ceros no entran:
Control: con x = 4, (2)(7) = 14 > 6 ✔; con x = 0, (−2)(3) = −6, que no es mayor que 6 ✔.
Dónde se pierde el punto: en b), resolver «x − 2 > 6 ó x + 3 > 6» como si fuera un producto contra cero. Eso da x > 3 ó x > 8 y se pierde la semirrecta de la izquierda, donde los dos factores son negativos y el producto es grande y positivo.
Dónde se cae la mayoría
- Dividir por un número negativo sin dar vuelta el sentido: −3x > 6 es x < −2.
- Multiplicar por una expresión con x para sacar el denominador: si esa expresión puede ser negativa, la desigualdad se da vuelta en una parte de la recta.
- Incluir el cero del denominador en la solución de un cociente ≤ 0 o ≥ 0.
- Resolver un producto igualado a un número distinto de cero factor por factor: (x − 2)(x + 3) > 6 no es «x − 2 > 6 o x + 3 > 6».
- Operar sólo en el miembro del medio de una doble desigualdad.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Inecuaciones: lineales, con producto y con cociente →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Un cociente, un módulo y el supremo de la intersección15 puntos · resuelto paso a paso
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