Análisis Matemático (72) · Unidad 1 — Números reales
Valor absoluto: ecuaciones, inecuaciones y distancia
|x − a| es la distancia entre x y a. Con esa lectura, |x − a| < r son los números cerca de a (un intervalo centrado) y |x − a| > r los que están lejos (dos semirrectas). Cuando del otro lado hay una x, las candidatas se verifican.
La explicación
Qué mide el valor absoluto
|x| es la distancia de x al 0, por eso nunca es negativo: |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0. Y |x − a| es la distancia entre x y a en la recta: |7 − 3| = 4 y |3 − 7| = 4. Esta lectura es la que resuelve casi todo sin cuentas: «|x + 2| < 3» dice «x está a menos de 3 del −2» (ojo: |x + 2| = |x − (−2)|, el centro es −2).
La relación con las raíces que vimos en 0.1: √(x²) = |x|.
Ecuaciones: |A| = c
- Si c > 0, hay dos posibilidades: A = c ó A = −c. En |x − 3| = 5: x = 8 ó x = −2.
- Si c = 0, una sola: A = 0.
- Si c < 0, ninguna: una distancia no puede ser negativa. |x + 1| = −2 no tiene solución.
Cuando del otro lado hay una x
En |A| = B con B que depende de x, se abren los dos casos, A = B y A = −B, pero hay que verificar cada candidata: el valor absoluto es ≥ 0, así que si B da negativo, esa candidata no sirve.
2x + 1 = x + 5 → x = 4 (|9| = 9 ✔)
2x + 1 = −(x + 5) → x = −2 (|−3| = 3 ✔)
Acá las dos sirven; en otros casos una se cae. Y cuando hay módulo de los dos lados, |A| = |B| quiere decir A = B ó A = −B: dos números a la misma distancia del 0 son iguales o opuestos.
Inecuaciones: cerca o lejos
|x − a| > r ⇔ x < a − r ó x > a + r
«Menor» es cerca: un intervalo centrado en a, de radio r. «Mayor» es lejos: dos semirrectas, una unión. Con ≤ o ≥ los extremos entran. Si hay un coeficiente, se abre la doble y se despeja en los tres miembros:
2. Si del otro lado quedó un negativo, cortá acá: |A| < negativo es ∅, y |A| > negativo es ℝ.
3. Con < (o ≤), abrí la doble −r < A < r y despejá x en los tres miembros.
4. Con > (o ≥), separá en A < −r ó A > r, resolvé cada una y uní.
Del intervalo al centro y el radio
Al revés: un intervalo (p, q) es {x : |x − a| < r} con el centro en el punto medio y el radio igual a la mitad del largo:
(−9, 1) tiene centro −4 y radio 5: es |x + 4| < 5. Y una unión (−∞, p) ∪ (q, +∞) es el «lejos» del mismo centro: (−∞, −6) ∪ (2, +∞) es |x + 2| > 4.
Con este mismo razonamiento se puede ir y volver entre r y los extremos. Si A = {x : |3x − 2| < r}, abrir la doble da (2 − r)/3 < x < (2 + r)/3; si te dicen cuál es el extremo derecho, de ahí sale r. (A ese extremo derecho, en el tema que viene, lo vamos a llamar el supremo de A.)
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá cada solución en la ecuación con el módulo, no en la ecuación sin él. En las inecuaciones, probá el centro (tiene que estar en «cerca» y no en «lejos») y un número bien lejos.
Escribir como intervalo el conjunto {x ∈ ℝ : |2x − 5| ≤ 7}, y dar su centro y su radio.
Planteo: el módulo ya está solo y del otro lado hay un positivo. «Menor o igual» es «cerca»: se abre la doble, con los extremos incluidos.
Se despeja en los tres miembros: sumando 5 y dividiendo por 2, que es positivo y no da vuelta nada.
−1 ≤ x ≤ 6
El conjunto es [−1, 6].
Centro y radio. El punto medio y la mitad del largo:
radio = (6 − (−1))/2 = 7/2
Tiene sentido: sacando factor 2 adentro del módulo, |2x − 5| = 2·|x − 5/2|, y 2·|x − 5/2| ≤ 7 es |x − 5/2| ≤ 7/2. El centro es donde se anula 2x − 5, y el radio es 7 dividido el coeficiente de x.
Control: con x = 6, |12 − 5| = 7 ≤ 7 ✔; con x = 7, |9| = 9, que no es ≤ 7 ✔; con el centro x = 5/2, |0| = 0 ✔.
Dónde se pierde el punto: dividir por 2 sólo el miembro del medio, o tomar como radio el 7 entero: con eso el centro queda bien pero el intervalo sale (−9/2, 19/2), el doble de largo.
a) Resolver |2x + 1| = x + 5. b) Escribir (−∞, −6) ∪ (2, +∞) en la forma {x ∈ ℝ : |x − a| > r}. c) Resolver |x − 4| = |3x + 2|.
a) Del otro lado hay una x: se abren los dos casos y se verifican.
2x + 1 = −x − 5 → 3x = −6 → x = −2
Verificación: con x = 4, |9| = 9 y 4 + 5 = 9 ✔. Con x = −2, |−3| = 3 y −2 + 5 = 3 ✔. Las dos sirven: S = {−2, 4}. (Con otros números una se cae; la verificación es la que lo decide.)
b) Es un «lejos». Los bordes −6 y 2 están a la misma distancia del centro, que es su punto medio, y el radio es la mitad de la distancia entre ellos:
{x ∈ ℝ : |x + 2| > 4}
Control: el −2 (centro) no cumple |0| > 4 y no está en la unión ✔; el 3 cumple |5| > 4 y está ✔.
c) Módulo de los dos lados: iguales u opuestos.
x − 4 = −3x − 2 → 4x = 2 → x = 1/2
Control: |−7| = 7 y |−7| = 7 ✔; |−7/2| = 7/2 y |7/2| = 7/2 ✔. S = {−3, 1/2}.
Dónde se pierde el punto: en c), escribir el segundo caso como x − 4 = −3x + 2, con el menos puesto sólo al primer término: el opuesto de 3x + 2 es −3x − 2.
Dónde se cae la mayoría
- Leer el centro de |x + 4| como 4: es −4, porque |x + 4| = |x − (−4)|.
- Escribir |x − a| > r como un intervalo: «mayor» es lejos, y lejos son dos pedazos.
- Buscar soluciones de |A| = c con c negativo: no hay ninguna, porque una distancia no es negativa.
- No verificar las candidatas de |A| = B cuando B depende de x: la que hace B negativo no sirve.
- Dividir sólo el miembro del medio al despejar la doble: en −7 < 2x − 5 < 7 se opera en los tres.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Valor absoluto: ecuaciones, inecuaciones y distancia →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Un cociente, un módulo y el supremo de la intersección15 puntos · resuelto paso a paso
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