Análisis Matemático (72) · Unidad 0 — Preliminares
Desarrollar, factorizar y resolver ecuaciones
Desarrollar y factorizar son la misma igualdad leída en los dos sentidos. Y una ecuación con x en el denominador se resuelve en tres tiempos: primero los valores prohibidos, después la cuenta, y al final se tachan las candidatas que caen en lo prohibido.
La explicación
Para qué te sirve
Calcular el dominio de una función, simplificar un límite que da 0/0, encontrar el precio al que la oferta iguala a la demanda: todo termina en desarrollar, factorizar o resolver una ecuación. Y la mitad de los errores de esas cuentas vienen de dos lugares: un cuadrado que se reparte mal y una solución que no se controla contra los denominadores.
Desarrollar: los tres productos que hay que saber de memoria
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
El término del medio, 2ab, es el que se olvida: (x + 3)² = x² + 6x + 9, y no x² + 9. Cuando hay un factor más, se desarrolla primero el cuadrado y después se distribuye: x(x − 4)² = x(x² − 8x + 16) = x³ − 8x² + 16x. Y un producto de dos binomios cualesquiera se hace «todos contra todos»: 3(x + 2)(x − 5) = 3(x² − 3x − 10) = 3x² − 9x − 30.
Factorizar: la misma igualdad, al revés
Factorizar es escribir una expresión como producto. Se prueban estas herramientas, en este orden:
2. Diferencia de cuadrados. Dos cuadrados restados: 25x² − 4 = (5x − 2)(5x + 2). También con potencias más altas: x⁴ − 25 = (x² − 5)(x² + 5).
3. Trinomio cuadrado perfecto. Si los extremos son cuadrados y el del medio es el doble del producto de sus raíces, es un binomio al cuadrado: x² + 14x + 49 = (x + 7)², porque 14x = 2·x·7.
4. Controlá desarrollando. Multiplicá lo que te quedó y fijate que vuelva a dar lo de antes.
Una suma de cuadrados, como x² + 25, no se factoriza con números reales: no confundirla con la diferencia.
Ecuaciones lineales
Se distribuye, se juntan las x de un lado y los números del otro, y se despeja. Si hay fracciones, conviene multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ojo con el menos adelante de una fracción: en − (2x − 1)/4, el menos afecta al numerador entero, y al multiplicar queda −(2x − 1) = −2x + 1.
La que no tiene solución y la que vale siempre
A veces las x se cancelan. Lo que queda decide todo:
falso: no tiene solución
3(x − 1) + 2 = 3x − 1 → 3x − 1 = 3x − 1
siempre verdadero: vale para todo x
La primera es un absurdo (ningún número la cumple); la segunda es una identidad (la cumplen todos).
Ecuaciones con x en el denominador
2. Común denominador. Factorizá los denominadores para ver el mínimo común (x² − 9 = (x − 3)(x + 3) ya contiene a los otros dos) y multiplicá toda la ecuación por él.
3. Resolvé la ecuación que quedó, que ya no tiene denominadores.
4. Tachá las candidatas prohibidas. Multiplicar por algo que puede ser cero agrega soluciones falsas: hay que volver al paso 1.
El caso más corto: un cociente es cero si y sólo si el numerador es cero y el denominador no. En (x² − 4x)/(x − 4) = 0 el numerador x(x − 4) se anula en 0 y en 4, pero el 4 anula también el denominador: la única solución es x = 0.
Y hay ecuaciones con denominador que son casi identidades: (x² − 9)/(x − 3) = x + 3 vale para todo x salvo el 3, porque simplificando queda x + 3 = x + 3, pero en x = 3 el primer miembro no existe. La respuesta es «todo x ≠ 3», no «todo x».
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá cada solución en la ecuación original, no en la simplificada: ahí se ve si anula un denominador y si los dos miembros dan lo mismo. Y en una factorización, desarrollá lo que te quedó: si no vuelve a la expresión de partida, algo se perdió en el camino.
Resolver 4/(x − 3) + x/(x + 3) = 24/(x² − 9).
1. Los valores prohibidos. Los denominadores se anulan en x = 3 y en x = −3 (x² − 9 = (x − 3)(x + 3)). Ninguno de los dos puede ser solución.
2. Común denominador. (x − 3)(x + 3) contiene a los tres. Multiplicando toda la ecuación por él:
3. Se resuelve. Distribuyendo:
x² + x − 12 = 0
Buscamos dos números que multiplicados den −12 y sumados den 1: son 4 y −3.
4. Se tachan las prohibidas. El 3 anula dos denominadores: no sirve. Queda
Control en la ecuación original: 4/(−7) + (−4)/(−1) = −4/7 + 4 = 24/7, y 24/((−4)² − 9) = 24/7 ✔
Dónde se pierde el punto: dar las dos soluciones. El 3 salió de la cuenta porque se multiplicó por (x − 3)(x + 3), que en x = 3 vale cero; en la ecuación original ese valor ni siquiera se puede reemplazar.
a) Resolver 2(x − 3) + 5 = 2x − 1. b) Resolver 4x − (x + 2) = 3(x + 1). c) Escribir x⁴ − 49 como producto de dos factores. d) Factorizar 12x² − 3.
a) Se distribuye y se juntan las x:
Las x se cancelan y queda 0 = 0, que es siempre cierto: vale para todo número real. Control: con x = 10, 2·7 + 5 = 19 y 2·10 − 1 = 19 ✔; con x = 0, −1 = −1 ✔.
b) Ojo con el menos adelante del paréntesis:
Un absurdo: no tiene solución. Ningún número puede hacer que −2 sea 3.
c) Diferencia de cuadrados con x⁴ = (x²)² y 49 = 7²:
Se pide un producto de dos factores, y éste lo es. (Si se quisiera seguir, x² − 7 = (x − √7)(x + √7), pero x² + 7 ya no se parte.)
d) Primero el factor común, después lo que quede:
Control desarrollando: (2x − 1)(2x + 1) = 4x² − 1, y por 3 da 12x² − 3 ✔
Dónde se pierde el punto: en b), escribir −(x + 2) como −x + 2: con ese signo sale 3x + 2 = 3x + 3, que también es absurda, así que el error no se nota… hasta que en otro ejercicio no se cancela. En d), no ver el factor común y buscar una diferencia de cuadrados que con 12 y 3 no aparece.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidarse el término del medio: (x + 3)² es x² + 6x + 9, no x² + 9.
- No repartir el menos adelante de una fracción: −(2x − 1)/4 es (−2x + 1)/4.
- Dar como solución un número que anula un denominador: hay que mirar los valores prohibidos antes de resolver y al final.
- Contestar «todos los reales» cuando la ecuación vale para todo x salvo donde un denominador se anula.
- Confundir «no tiene solución» (queda un absurdo, como 2 = 5) con «vale siempre» (queda una igualdad cierta, como 0 = 0).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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