Análisis Matemático (72) · Unidad 3 — Límite y continuidad

Asíntotas verticales y horizontales

Las verticales se buscan en el borde del dominio: x = a es asíntota si algún lateral en a da infinito, y un 0/0 que se simplifica es un hueco, no una asíntota. Las horizontales salen de los límites en +∞ y en −∞, que pueden dar dos rectas distintas.

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La explicación

Qué es cada una

Asíntota vertical x = a: al acercarse a a, por algún lado, f se dispara (lím_x→a⁺ o lím_x→a⁻ es +∞ o −∞). Alcanza con un lado.
Asíntota horizontal y = L: lím_x→+∞ f(x) = L o lím_x→−∞ f(x) = L. Puede haber una distinta de cada lado.

Se contestan con su ecuación: «x = 3», «y = 1». Una asíntota es una recta, no un número suelto, y confundir x = con y = es perder el ítem entero.

Dónde buscar las verticales

Una función continua no se dispara en el medio de su dominio: las verticales sólo pueden estar en los bordes. Los candidatos son:

los ceros de un denominador;
el borde del dominio de un logaritmo (donde el argumento tiende a 0⁺);
el punto donde se anula el denominador de un exponente, como en e^{x/(x − 2)}.

En cada candidato se calculan los laterales. Si alguno es infinito, hay asíntota; si los dos dan un número, no.

Hueco o asíntota

Que el denominador se anule en a no alcanza: si el numerador también se anula y el factor se cancela, el límite es un número y en a hay un hueco, no una asíntota.

(x² + 2x − 3)/(x² − 4x + 3)
= (x − 1)(x + 3)/((x − 1)(x − 3))

En x = 1 se cancela: el límite es (1 + 3)/(1 − 3) = −2, y el gráfico tiene un agujerito a esa altura. En x = 3 no: arriba tiende a 12 y abajo a 0, así que x = 3 sí es asíntota vertical.

Asíntotas de un solo lado

Con e^{x/(x − 2)}: si x → 2⁺, el exponente → +∞ y la función se dispara; si x → 2⁻, el exponente → −∞ y la función tiende a 0. Es asíntota vertical sólo por derecha, y por izquierda la curva se apoya en el eje x. Con ln(x + 4) pasa algo parecido: sólo existe para x > −4, y cuando x → −4⁺ el logaritmo va a −∞. La vertical es x = −4, del único lado que hay.

Las horizontales: los dos infinitos, por separado

Se calculan lím_x→+∞ y lím_x→−∞ con lo de 3.1 y 3.2. Un cociente de polinomios da lo mismo de los dos lados (a lo sumo una horizontal). Con eˣ o con raíces pueden dar distinto:

(5eˣ − 3)/(eˣ + 1): → 5 en +∞, → −3 en −∞
√(x² + 9)/(x − 2): → 1 en +∞, → −1 en −∞

En esos casos hay dos asíntotas horizontales, y hay que decir de qué lado es cada una.

El procedimiento completo:
1. Dominio.
2. Candidatos a vertical: los bordes del dominio que son números.
3. En cada uno, los laterales: infinito → asíntota; número → hueco o punto de borde, sin asíntota.
4. Límite en +∞ y en −∞: cada número es una horizontal.
5. La lista, con ecuaciones: «x = 3; y = 1».

El parámetro que fija una asíntota

Si piden k para que y = 2 sea horizontal, se calcula el límite en el infinito con k adentro y se lo iguala a 2. Pero el ejercicio no termina ahí: con ese k conviene volver a mirar el numerador, porque puede aparecer un factor común con el denominador que convierta una vertical en un hueco. Pasa seguido, y es justamente lo que el ejercicio quiere ver.

Del mismo modo, si piden que x = a sea vertical, se pide que el denominador se anule en a y el numerador no.

El control que conviene hacer siempre

Para cada vertical, evaluá en a ± 0,01: tiene que salir un número grande. Para cada hueco, un número razonable (el límite). Para cada horizontal, en ±1000. Tres o cuatro cuentas y la lista queda verificada.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Para cada función, dar su dominio y las ecuaciones de todas sus asíntotas (verticales y horizontales). a) f(x) = (x² + 2x − 3)/(x² − 4x + 3); b) g(x) = ln(x + 4) − 1.

a) Dominio: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), así que Dom(f) = ℝ − {1, 3}.

Verticales. Arriba, x² + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3).

x → 1: (x + 3)/(x − 3) → 4/(−2) = −2
x → 3: 12/(0) → ±∞

En x = 1 hay un hueco (límite −2): no es asíntota. En x = 3 sí: por derecha (x − 3 > 0) da +∞ y por izquierda −∞. Asíntota vertical: x = 3.

Horizontales. Grados iguales, principales 1 y 1: el límite es 1 en los dos infinitos. Asíntota horizontal: y = 1.

b) Dominio: x + 4 > 0, o sea Dom(g) = (−4, +∞).

Vertical. Cuando x → −4⁺, x + 4 → 0⁺ y ln(x + 4) → −∞: x = −4, del único lado que existe.

Horizontal. En +∞, ln(x + 4) → +∞: no hay. (En −∞ la función no está definida.)

Control: f(2,99) = (2,99 + 3)/(2,99 − 3) = 5,99/(−0,01) = −599 ✔, f(0,999) ≈ −2 ✔ y f(1000) = 1003/997 ≈ 1,006 ✔

Dónde se pierde el punto: en a), declarar x = 1 asíntota «porque anula el denominador»; en b), buscar la vertical en x = −3, donde el logaritmo vale 0.

Y uno del nivel del parcial

Sea f(x) = (k x² − 5x)/(3x² + x − 2). a) Hallar k para que y = 2 sea asíntota horizontal de f. b) Con ese k, hallar todas las asíntotas. c) Hallar las asíntotas de h(x) = √(x² + 9)/(x − 2).

a) El límite con k adentro. Si k ≠ 0, grados iguales: lím = k/3 = 2 ⟹ k = 6.

b) Revisar la función que queda. Abajo, 3x² + x − 2 = (3x − 2)(x + 1): ceros 2/3 y −1. Arriba, 6x² − 5x = x(6x − 5): ceros 0 y 5/6. Ningún factor en común, así que los dos ceros de abajo son verticales:

x = −1 ; x = 2/3 ; y = 2

Control: en x = −1, arriba vale 6 + 5 = 11 ≠ 0; en x = 2/3, 8/3 − 10/3 = −2/3 ≠ 0 ✔

c) La raíz da dos horizontales. Dom(h) = ℝ − {2}. En x = 2 arriba vale √13 y abajo 0: x = 2 es vertical. En el infinito, √(x² + 9) = |x|·√(1 + 9/x²):

x → +∞: x/x → 1 x → −∞: (−x)/x → −1

Horizontales: y = 1 hacia la derecha e y = −1 hacia la izquierda.

Dónde se pierde el punto: en b), no revisar el numerador con el k hallado; en c), usar √(x²) = x también en −∞ y dar una sola horizontal.

Dónde se cae la mayoría

Contar como asíntota vertical todo cero del denominador, también el que se cancela: ahí hay un hueco.
Contestar un número suelto, o con la letra cambiada: una vertical es x = a y una horizontal y = L.
Dar una sola horizontal cuando hay eˣ o raíces: hay que calcular +∞ y −∞ por separado.
Buscar la vertical de ln(algo) donde el logaritmo vale 0: está donde el argumento tiende a 0.
Después de hallar el parámetro, no revisar la función que queda: puede aparecer un hueco que antes no estaba.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Un hueco, una asíntota y un 1^∞15 puntos · resuelto paso a paso

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