Análisis Matemático (72) · Unidad 3 — Límite y continuidad

El número e: límites de la forma 1^∞

Una base que tiende a 1 elevada a un exponente que se dispara no da 1: es la indeterminación 1^∞, y se resuelve con una sola fórmula. Si la base es 1 + u con u → 0 y el exponente es v → ∞, el límite es e elevado al límite de u·v.

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La explicación

De dónde sale e: el interés que se capitaliza cada vez más seguido

Un peso depositado al 100 % anual se convierte en 2 al cabo de un año. Si el banco capitaliza a mitad de año, en (1 + 1/2)² = 2,25. Si capitaliza por mes, en (1 + 1/12)¹² ≈ 2,613; si por día, en (1 + 1/365)³⁶⁵ ≈ 2,7146. Capitalizar más seguido ayuda, pero cada vez menos, y los montos se frenan en un número:

lím_n→+∞ (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,71828

Ese número es e, la base de la exponencial y del logaritmo natural. Lo mismo vale con x real, hacia +∞ o hacia −∞: lím_x→±∞ (1 + 1/x)^x = e. Con una tasa r en vez del 100 %, (1 + r/n)ⁿ → e^r: es la capitalización continua.

Por qué 1^∞ no es 1

En (1 + 1/x)^x la base tiende a 1 y el exponente a +∞. Si se pensara «1 elevado a cualquier cosa es 1», daría 1, y da e. Pasa que la base nunca es 1: es un poquito más que 1, y ese poquito, elevado a un exponente enorme, pesa. Por eso 1^∞ es una indeterminación, como 0/0.

La fórmula que resuelve todos

si u → 0 y v → ±∞:
(1 + u)^v → e^{lím u·v}

Sale de escribir (1 + u)^v = [(1 + u)^1/u]^u·v: el corchete tiende a e y queda el exponente u·v. Tres casos que salen al toque:

(1 + 4/x)^x/2: u·v = 2 → e²
(1 − 2/x)^x: u·v = −2 → e⁻²
(1 − 2x)^3/x, x → 0: u·v = −6 → e⁻⁶

El último muestra que no hace falta que x vaya al infinito: alcanza con que la base tienda a 1 y el exponente se dispare, y eso pasa también cuando x → 0.

Cuando la base es un cociente

Para ((x + a)/(x + b))^v se escribe la base como 1 + algo, sumando y restando:

(x + a)/(x + b) = 1 + (a − b)/(x + b)

El «algo» es u = (a − b)/(x + b), y se calcula lím u·v con lo de 3.1. Por ejemplo, ((x + 3)/(x + 1))^{2x − 1}: u = 2/(x + 1) y u·v = 2(2x − 1)/(x + 1) → 4, así que el límite es e⁴.

El procedimiento:
1. ¿A qué tiende la base? Si no es 1, no es 1^∞ (ver abajo).
2. ¿A qué tiende el exponente? Si es un número, se reemplaza y listo.
3. Si es 1^∞: escribí la base como 1 + u y calculá lím u·v.
4. El límite es e elevado a eso. Si lím u·v = +∞, da +∞; si da −∞, da 0.

Cuando no es 1^∞

Si la base tiende a un número c ≠ 1, se calcula directo. ((5x − 2)/(4x + 1))^{x + 3} en −∞: la base tiende a 5/4 > 1 y el exponente a −∞, así que (5/4)^−∞ = 0. En +∞ daría (5/4)^+∞ = +∞. Con una base menor que 1, al revés. Es el error más caro del tema: aplicar la fórmula de e a algo que no es 1^∞.

Los dos lados pueden dar distinto

Si u·v tiende a infinito, el signo decide. En ((2x + 1)/(2x − 3))^x², u·v = 4x²/(2x − 3), que se porta como 2x: en +∞ es +∞ (y el límite es +∞) y en −∞ es −∞ (y el límite es 0). Lo mismo pasa en un punto: con exponente 1/x³, cerca de 0 el signo de x³ cambia de un lado al otro, y los laterales pueden ser uno 0 y el otro +∞.

El parámetro

Si piden a para que el límite sea e⁶, se calcula lím u·v con a adentro y se lo iguala a 6. Si piden √e, hay que leerlo como e^1/2: el exponente tiene que dar 1/2.

El control que conviene hacer siempre

Evaluá con x grande, pero con cuidado: (1 + 4/x)^x/2 en x = 10 000 da ≈ 7,386, y e² ≈ 7,389. Se acerca despacio; lo que importa es que no se parezca a 1.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Calcular: a) lím x→+∞ (1 + 4/x)^(x/2); b) lím x→+∞ ((x + 3)/(x + 1))^(2x − 1); c) lím x→0 (1 − 2x)^(3/x).

Los tres son 1^∞: la base tiende a 1 y el exponente se dispara.

a) u = 4/x, v = x/2:

u·v = (4/x)·(x/2) = 2 ⟹ e²

b) La base como 1 + algo: (x + 3)/(x + 1) = 1 + 2/(x + 1). Entonces u = 2/(x + 1) y v = 2x − 1:

u·v = (4x − 2)/(x + 1) → 4 ⟹ e⁴

c) Cuando x → 0, la base 1 − 2x → 1 y el exponente 3/x → ±∞. u = −2x, v = 3/x:

u·v = −6 ⟹ e⁻⁶

El mismo valor de los dos lados de 0, porque u·v no depende de x.

Control: en b), con x = 10 000, (10 003/10 001)^{19 999} ≈ 54,54, y e⁴ ≈ 54,60 ✔. En c), con x = 0,0001, 0,9998^{30 000} ≈ 0,00248, y e⁻⁶ ≈ 0,00248 ✔

Dónde se pierde el punto: contestar 1 en cualquiera de los tres; en b), tomar u = 3/(x + 1) (el 3 de arriba) en vez de la diferencia 3 − 1; en c), perder el signo del −2x.

Y uno del nivel del parcial

a) Calcular lím x→+∞ y lím x→−∞ de ((2x + 1)/(2x − 3))^(x²). b) Calcular lím x→−∞ ((5x − 2)/(4x + 1))^(x + 3). c) Hallar a para que lím x→+∞ ((x + a)/(x − 2))^x = e⁶.

a) 1^∞ con u·v que se dispara. (2x + 1)/(2x − 3) = 1 + 4/(2x − 3), así que

u·v = 4x²/(2x − 3) ≈ 2x

En +∞, u·v → +∞ y el límite es e^+∞ = +∞. En −∞, u·v → −∞ y el límite es e^−∞ = 0.

b) No es 1^∞. La base tiende a 5/4, no a 1. El exponente x + 3 → −∞:

(5/4)^−∞ = (4/5)^+∞ = 0

c) El parámetro. (x + a)/(x − 2) = 1 + (a + 2)/(x − 2), y u·v = (a + 2)x/(x − 2) → a + 2:

e^{a + 2} = e⁶ ⟹ a = 4

Control: en c), con a = 4 y x = 10 000: (10 004/9998)^{10 000} ≈ 403,19, y e⁶ ≈ 403,43 ✔

Dónde se pierde el punto: en a), dar el mismo resultado de los dos lados; en b), usar la fórmula de e como si la base tendiera a 1; en c), escribir u = (a − 2)/(x − 2) y contestar a = 8.

Dónde se cae la mayoría

Contestar 1 en un 1^∞ porque «1 elevado a cualquier cosa es 1»: la base no es 1, tiende a 1, y el resultado es e elevado a algo.
Aplicar la fórmula de e cuando la base no tiende a 1: (5/4)^(−∞) se calcula directo y da 0.
Olvidarse del coeficiente del exponente: en (1 + 1/x)^(4x) el límite es e⁴, no e.
Escribir mal el «algo»: (x + 3)/(x − 2) = 1 + 5/(x − 2), no 1 + 3/(x − 2).
Calcular un solo lado cuando u·v tiende a infinito: en +∞ puede dar +∞ y en −∞, 0.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Un hueco, una asíntota y un 1^∞15 puntos · resuelto paso a paso

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