Análisis Matemático (72) · Unidad 6 — Integrales

Integrales impropias

Una integral hasta +∞ se calcula hasta un b cualquiera y después se hace tender b a +∞. Si ese límite es un número, la integral converge y vale eso; si no, diverge. Un área infinitamente larga puede medir un número finito.

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La explicación

Integrar hasta el infinito

Barrow necesita dos extremos, y +∞ no es un número que se pueda reemplazar. La salida es la de siempre en la unidad 3: se calcula hasta un b cualquiera y se toma límite.

∫ₐ^(+∞) f(x) dx = lím_b→+∞ ∫ₐᵇ f(x) dx

Si el límite existe y es un número, la integral converge y vale ese número. Si da +∞ (o −∞, o no existe), la integral diverge. El dibujo muestra la idea: el borde derecho se va corriendo hacia la derecha, el área acumulada crece, pero cada vez crece menos, y se frena contra un valor. Que una región infinitamente larga tenga área finita es lo que pasa cuando la curva baja lo bastante rápido hacia el eje.

1. Hallá una primitiva F (con sustitución o partes si hace falta).
2. Escribí ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a), con b como letra.
3. Calculá el límite cuando b → +∞.
4. Si es un número, converge y vale eso; si no, diverge.

Las potencias: la frontera está en 1

∫₁^(+∞) 1/x^p dx converge si p > 1 (y vale 1/(p − 1)), diverge si p ≤ 1

Con p > 1 la primitiva es x^1−p/(1 − p), con exponente negativo, que tiende a 0. Con p = 1 es ln(b), que crece sin límite, aunque despacio; y con p < 1 (1/√x, por ejemplo) la primitiva es una potencia positiva, que también se va a +∞. Que f tienda a 0 no alcanza: 1/x y 1/√x tienden a 0 y sus integrales divergen.

Exponenciales, sustitución y partes

Una exponencial decreciente converge siempre: ∫₀^(+∞) e^−kx dx = 1/k para k > 0, porque e^−kb → 0. Con un polinomio adelante (x·e^−x, (x + 2)·e^−x) se integra por partes, y en el límite aparecen términos como b·e^−b, que tienden a 0 porque la exponencial le gana a cualquier potencia (se ve con L'Hôpital). Con una sustitución conviene cambiar también el límite infinito: si u = x² + a, cuando x → +∞ también u → +∞.

El caso del logaritmo es el más fino: con u = ln(x), ∫ dx/(x·ln^px) pasa a ser ∫du/u^p, así que converge si p > 1 y diverge si p = 1, igual que las potencias. Es el par que se toma para ver si se entendió: 1/(x ln x) diverge, 1/(x ln³ x) converge.

Un uso en Economía: un flujo para siempre

Si un contrato genera ingresos a razón de R·e^−rt por año (un ingreso que se va apagando, o que se descuenta por la tasa de interés), el total que genera a lo largo de todo el tiempo es ∫₀^(+∞) R·e^−rt dt = R/r. Con R = 1200 y r = 0,05, el total es 24000, aunque el contrato no termine nunca.

Con un parámetro

Cuando la integral depende de un número a, se calcula igual, con a como letra, y queda una expresión en a. Si piden que valga un número, se iguala y se despeja, y se descartan los valores de a que no cumplen la condición del enunciado (a > 0, o los que hacen divergir la integral).

El control que conviene hacer siempre

Probá con un b grande: ∫ₐᵇ f con b = 100 o b = 1000 tiene que dar casi el valor que encontraste. Si la integral es de una función positiva, el resultado tiene que ser positivo. Y antes de calcular, mirá la potencia de x con la que baja f: si baja como 1/x o más lento, va a divergir.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Calcular la integral de 4/(2x + 1)^2 entre 1 y +∞.

Planteo: es impropia en el extremo de arriba. Calculo hasta b y tomo límite.

Una primitiva (sustitución u = 2x + 1, du = 2 dx):

∫ 4(2x + 1)⁻² dx = 4·(1/2)·(2x + 1)⁻¹/(−1) = −2/(2x + 1)

Hasta b:

∫₁ᵇ 4/(2x + 1)² dx = −2/(2b + 1) − (−2/3) = 2/3 − 2/(2b + 1)

El límite: cuando b → +∞, 2/(2b + 1) → 0.

∫₁^(+∞) 4/(2x + 1)² dx = 2/3 (converge)

Control: con b = 100, 2/3 − 2/201 ≈ 0,657, muy cerca de 0,667 ✔. Y tenía que converger: para x grande, 4/(2x + 1)² se parece a 1/x², que es una potencia con p = 2 > 1.

Dónde se pierde el punto: el signo del −2/3 (menos por menos) y olvidarse del 1/2 de la sustitución, que da 4/3.

Y uno del nivel del parcial

Hallar a > 0 para que la integral de x·e^(−x/a) entre 0 y +∞ valga 9.

Planteo: primero la integral en función de a (partes, con a como letra), después se iguala a 9.

Partes con u = x y dv = e^−x/a dx: du = dx y v = −a·e^−x/a.

∫ x·e^−x/a dx = −a·x·e^−x/a + a∫ e^−x/a dx = −a·x·e^−x/a − a²e^−x/a

Hasta b (en 0, el primer término vale 0 y el segundo −a²):

∫₀ᵇ x·e^−x/a dx = −a·b·e^−b/a − a²e^−b/a + a²

El límite: como a > 0, e^−b/a → 0, y b·e^−b/a = b/e^b/a → 0 también (la exponencial le gana a b; se ve con L'Hôpital). Queda:

∫₀^(+∞) x·e^−x/a dx = a²

La condición: a² = 9 → a = 3 o a = −3, y como a > 0, a = 3.

Control: con a = 3 y b = 60, 9 − (180 + 9)·e⁻²⁰ ≈ 9 ✔. Y con a < 0 la exponencial crecería y la integral divergiría: por eso el enunciado pide a > 0.

Dónde se pierde el punto: el signo de v (−a·e^−x/a) y dar las dos soluciones de a² = 9.

Dónde se cae la mayoría

Reemplazar +∞ como si fuera un número, en lugar de calcular hasta b y tomar límite.
Pensar que si f tiende a 0 la integral converge: 1/x y 1/√x tienden a 0 y divergen.
Restar al revés al tomar el límite: F(b) − F(a), con F(b) → 0 queda −F(a).
Con sustitución, dejar el límite de abajo en x cuando la integral ya está en u.
Con un parámetro, no descartar el valor que hace que la integral no converja o que no cumple a > 0.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Segundo parcial — Una impropia que converge y otra que no15 puntos · resuelto paso a paso

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