Análisis Matemático (72) · Unidad 6 — Integrales
Área entre curvas
El área entre dos gráficos es la integral de la de arriba menos la de abajo, entre los puntos de corte. Cuando las curvas se cruzan adentro del intervalo, se parte en el cruce, porque cambia quién va arriba.
La explicación
Arriba menos abajo
Si en todo [a, b] el gráfico de f está por encima del de g, el área de la región entre los dos es
La razón es la misma que en 6.5: la región se parte en tiras verticales angostas, y cada tira mide de alto f(x) − g(x). No importa si las dos curvas están arriba del eje, abajo o una de cada lado: la resta mide siempre la distancia vertical entre las dos. El eje x es la curva g = 0: el área entre f y el eje es ∫f si f está arriba y ∫(−f) si está abajo.
Los límites, cuando no los dan
Si el enunciado dice «la región encerrada por los gráficos» y no da intervalo, los límites son los puntos de corte: se resuelve f(x) = g(x). Entre dos cortes seguidos, una curva no puede pasar de estar arriba a estar abajo sin volver a cortar a la otra, así que alcanza con probar un solo punto de adentro para saber quién va arriba.
2. En cada tramo entre cortes, probá un punto y fijate quién está arriba.
3. Plantealo: una integral por tramo, siempre (arriba − abajo).
4. Calculá cada una con Barrow y sumá.
5. El resultado tiene que ser positivo; si alguno te dio negativo, ese tramo está dado vuelta.
Por qué hay que partir
Si las curvas se cruzan dentro del intervalo, cambia quién va arriba. Una sola integral de f − g sobre todo el intervalo hace el balance: el tramo donde f − g < 0 resta lo que había sumado el otro, y puede dar un número chico o incluso 0 aunque la región sea grande. Es la diferencia entre integral y área. En opción múltiple aparece así: «el área se obtiene calculando…», con las integrales partidas en el corte y los órdenes dados vuelta. La correcta es la que en cada tramo pone arriba a la que de verdad está arriba.
Plantear desde un dibujo
Cuando la región viene dibujada, se lee de izquierda a derecha: dónde empieza, dónde termina, qué curva la limita arriba y cuál abajo, y si la de abajo cambia en algún punto (por ejemplo, abajo está el eje hasta x = 1 y después una curva). Cada vez que cambia la de arriba o la de abajo, empieza una integral nueva. Una región limitada por el eje y empieza en x = 0.
Con una recta tangente
Un caso que se toma: la región entre una curva, su recta tangente en un punto y un eje. Primero la tangente (y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀)); después, como una curva cóncava hacia arriba queda por encima de sus tangentes, arriba va la curva y abajo la recta, y los límites son el eje y el punto de tangencia.
El control que conviene hacer siempre
Un área es positiva: si te da negativa, restaste al revés. Y una cota con el dibujo: la región entra en un rectángulo de base (b − a) y altura igual a la mayor distancia entre las curvas, así que el área no puede pasar de eso. Si hiciste una sola integral sobre un intervalo donde las curvas se cruzan, probablemente te dio de menos.
Calcular el área de la región encerrada por los gráficos de f(x) = x^2 − 3x y g(x) = x + 5.
Planteo: no dan intervalo, así que los límites son los cortes.
Los cortes:
Quién va arriba: en x = 0, g(0) = 5 y f(0) = 0. Arriba va la recta, en todo el tramo.
La integral:
Control: el área es positiva ✔. Y una cota: la distancia entre las curvas es −x² + 4x + 5, que es máxima en x = 2, donde vale 9; la región entra en un rectángulo de 6 × 9 = 54, y 36 es menos ✔.
Dónde se pierde el punto: el paréntesis de la parábola (el −3x pasa a sumar +3x al restarla) y el signo de F(−1).
Hallar el área de la región limitada por el gráfico de f(x) = x^2 + 1, su recta tangente en x₀ = 2 y el eje y.
Planteo: primero la tangente; después, quién va arriba y entre qué límites.
La tangente: f(2) = 5 y f′(x) = 2x, así que f′(2) = 4.
La región: la limitan el eje y (x = 0) a la izquierda y el punto de tangencia (x = 2) a la derecha, donde la recta toca a la parábola. La parábola es cóncava hacia arriba, así que queda por encima de su tangente: en x = 0, f(0) = 1 y la recta vale −3 ✔.
Control: el integrando es un cuadrado, así que es positivo, y se anula justo en x = 2: la recta toca la curva ahí y no la corta ✔.
Dónde se pierde el punto: tomar como límite derecho el corte de la recta con el eje x (x = 3/4), que no es borde de la región.
Dónde se cae la mayoría
- Restar en el orden equivocado (abajo − arriba) y dar un área negativa.
- No partir en el punto donde las curvas se cruzan: la integral hace el balance y el área queda de menos.
- Olvidarse de alguno de los cortes (con una cúbica suele haber tres).
- Dar la integral de f como área cuando f tiene un tramo debajo del eje.
- En una región con la tangente, usar la recta equivocada o el punto de tangencia como si fuera un corte con el eje.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Área entre curvas →Los otros temas de la unidad 6
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