Análisis Matemático (72) · Unidad 6 — Integrales

Método de sustitución

Cuando el integrando trae una función de adentro y, multiplicando, la derivada de esa función de adentro, se la llama u: todo el integrando se convierte en una integral de la tabla en la variable u.

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La explicación

La regla de la cadena, leída al revés

Derivando una composición aparece la derivada de lo de adentro multiplicando: (e^x²)′ = e^x²·2x. Entonces, si te toca integrar algo como e^x²·2x, es la derivada de e^x², y la primitiva está a la vista. El método de sustitución es la manera ordenada de reconocer ese patrón cuando no está tan a la vista.

∫ f(g(x))·g′(x) dx = ∫ f(u) du con u = g(x), du = g′(x) dx

Cómo se elige u

Se busca una función de adentro cuya derivada esté afuera, multiplicando, salvo una constante. Lo de adentro puede estar dentro de un paréntesis elevado a algo, de una raíz, de un exponente o de un seno; o puede ser un denominador cuyo numerador es su derivada. El dibujo lo muestra como dos máquinas: la de adentro es la que se llama u.

La constante que falta no es un problema: si du = 9x² dx y afuera hay sólo x², entonces x² dx = du/9, y el 1/9 sale afuera de la integral. Lo que sí es un problema es que falte una x: esa no se puede sacar afuera.

1. Elegí u (lo de adentro) y calculá du = u′ dx.
2. Despejá lo que aparece en el integrando: por ejemplo, x² dx = du/9.
3. Cambiá todo a u. Si queda una x suelta, despejala de la definición de u (x = u − 3, x² = u − 4).
4. Integrá en u con la tabla.
5. Volvé a x reemplazando u, y sumá la C.

Los casos que más se toman

Una lineal adentro. Con u = ax + b, du = a dx: todo se integra como en la tabla y se divide por a.

∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹/(a(n + 1)) + C
∫ 1/(ax + b) dx = (1/a)·ln|ax + b| + C
∫ e^{ax + b} dx = (1/a)·e^{ax + b} + C

Un cociente u′/u. Si el numerador es (salvo constante) la derivada del denominador, la integral es un logaritmo: ∫ u′/u dx = ln|u| + C. Por ejemplo, ∫ 4/(2x + 3) dx = 2·∫ 2/(2x + 3) dx = 2ln|2x + 3| + C.

Una potencia de u multiplicada por u′. Si el denominador está al cuadrado, ya no es logaritmo: ∫ u′/u² dx = ∫ u⁻² du = −1/u + C. Es un error muy común poner ln cuando el de abajo tiene un exponente.

Una exponencial o una trigonométrica con algo adentro: ∫ x²·e^2x³ dx pide u = 2x³; ∫ cos(x)·sen⁴(x) dx pide u = sen(x).

Cuando queda una x suelta

A veces, después de cambiar du, sobra una x que no se va. Si u es lineal, se despeja x de la definición de u: con u = 2x + 1 es x = (u − 1)/2, y la integral queda un polinomio en u. Pasa lo mismo con u = x² + 4 cuando sobra un x²: x² = u − 4. Es el caso que más se toma en opción múltiple («si se hace la sustitución u = …, se obtiene…»): la respuesta correcta tiene la x despejada y la constante de du bien puesta.

El control que conviene hacer siempre

Derivá tu resultado con la regla de la cadena. Tiene que aparecer la derivada de lo de adentro, y ésa es la que se canceló con la constante. Si al derivar te sobra o te falta un número (un 2, un 1/5), el error está en el despeje de du. Y fijate que al final no quede ninguna u: el resultado se escribe en x.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Calcular ∫ x^2/√(3x^3 + 1) dx.

Planteo: adentro de la raíz está 3x³ + 1, cuya derivada es 9x². Afuera hay un x²: es esa derivada salvo el número 9. Es el patrón de sustitución.

Elijo u y derivo:

u = 3x³ + 1 → du = 9x² dx → x² dx = du/9

Cambio todo a u. La raíz pasa a √u y el «x² dx» entero pasa a du/9. No queda ninguna x, así que la elección fue buena:

∫ x²/√(3x³ + 1) dx = (1/9)∫ u^−1/2 du = (1/9)·u^1/2/(1/2) + C = (2/9)√u + C

Vuelvo a x:

∫ x²/√(3x³ + 1) dx = 2√(3x³ + 1)/9 + C

Control (derivar con la cadena): (2/9)·(1/(2√(3x³ + 1)))·9x² = 9x²/(9√(3x³ + 1)) = x²/√(3x³ + 1) ✔. El 9 que aparece al derivar es el que se había dividido.

Dónde se pierde el punto: no dividir por 9, o dividir por 1/2 mal (dividir por 1/2 es multiplicar por 2).

Y uno del nivel del parcial

Calcular ∫ x·(2x + 1)^4 dx usando la sustitución u = 2x + 1.

Planteo: desarrollar la cuarta potencia sería largo. Con u = 2x + 1 la potencia queda u⁴, pero el du = 2 dx no se lleva la x que multiplica: sobra una x, y hay que despejarla.

El cambio completo:

u = 2x + 1 → du = 2 dx, dx = du/2, x = (u − 1)/2

∫ x(2x + 1)⁴ dx = ∫ ((u − 1)/2)·u⁴·(du/2) = (1/4)∫ (u⁵ − u⁴) du

Integro en u: ahora es un polinomio.

(1/4)(u⁶/6 − u⁵/5) + C = u⁶/24 − u⁵/20 + C

∫ x(2x + 1)⁴ dx = (2x + 1)⁶/24 − (2x + 1)⁵/20 + C

Control: derivando, (2x + 1)⁵/2 − (2x + 1)⁴/2 = (2x + 1)⁴·((2x + 1) − 1)/2 = (2x + 1)⁴·x ✔.

Dónde se pierde el punto: las dos mitades: el 1/2 de la x despejada y el 1/2 de dx. Multiplicadas dan 1/4, y olvidarse una da el doble del resultado.

Dónde se cae la mayoría

Olvidarse de dividir por la constante de du: ∫(5x − 2)⁶ dx no es (5x − 2)⁷/7, falta el 1/5.
Poner un logaritmo cuando el denominador está elevado a una potencia: ∫u′/u² da −1/u, no ln|u|.
Cambiar sólo una parte a u y dejar x mezcladas con u en la misma integral.
Cuando sobra una x, despejarla con el signo cambiado (con u = x − 3, la x es u + 3).
Terminar con el resultado en u y no volver a x.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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