Análisis Matemático (72) · Unidad 6 — Integrales
Integral definida: regla de Barrow y propiedades
La integral definida de f entre a y b es el área con signo bajo su gráfico, y se calcula con cualquier primitiva: F(b) − F(a). Se puede partir por intervalos y por sumandos, y los números que multiplican salen afuera.
La explicación
Qué mide ∫ₐᵇ f(x) dx
Se parte el intervalo [a, b] en muchos pedacitos, sobre cada uno se levanta un rectángulo de altura f(x) y se suman sus áreas. Con pedacitos cada vez más angostos esa suma se acerca a un número, que es la integral definida de f entre a y b. Es lo que muestra el dibujo: los rectángulos se afinan y el escalonado se pega a la curva.
Si f es positiva, ese número es el área bajo el gráfico. Si f es negativa en un tramo, los rectángulos de ese tramo tienen altura negativa y restan: la integral es un área con signo, lo de arriba del eje menos lo de abajo. Para el área de verdad (siempre positiva) hay que partir, y eso es el tema 6.6.
El teorema fundamental del cálculo
Sumar infinitos rectángulos sería impracticable. El teorema fundamental dice que no hace falta, porque integrar y derivar son operaciones inversas: si f es continua y se define
entonces A′(x) = f(x). O sea, el área acumulada es una primitiva de f. La idea: si x avanza un poquito h, el área crece casi un rectángulo de base h y altura f(x), así que (A(x + h) − A(x))/h ≈ f(x). En una economía, si f es un costo marginal, A(x) es cuánto sube el costo desde a hasta x: por eso en 6.4 salía que C(b) − C(a) es el área bajo C′.
La regla de Barrow
De ahí sale la cuenta que se usa siempre: si F es cualquier primitiva de f,
La constante no hace falta: aparece en F(b) y en F(a), y se cancela en la resta. Por eso se usa la primitiva más simple, con C = 0.
2. Calculá F(b) y F(a) por separado, con paréntesis en los extremos negativos.
3. Restá en ese orden: arriba menos abajo.
4. Mirá si el signo tiene sentido con el gráfico.
Sustitución con límites
Con una sustitución hay dos formas, y las dos están bien: hallar la primitiva en x y evaluar al final, o cambiar los límites. Si u = g(x), cuando x va de a a b, u va de g(a) a g(b), y se evalúa directamente en u sin volver a x:
El error típico es cambiar la función a u y dejar los límites de x. Con partes pasa lo mismo: la parte u·v también se evalúa entre a y b.
Las propiedades
∫ab f dx = ∫ac f dx + ∫cb f dx
∫aa f dx = 0 · ∫ba f dx = −∫ab f dx
∫ab k dx = k·(b − a)
La primera es la linealidad: las sumas se parten y los números salen. La segunda es la aditividad respecto del intervalo: el área de a a b es la de a a c más la de c a b. Con ellas se resuelven los ejercicios en los que no dan f, sino el valor de algunas integrales, y piden otra. Ojo con la última: una constante también se integra, y depende del largo del intervalo: ∫₂⁵ 2 dx = 2·3 = 6, no 2.
El control que conviene hacer siempre
Mirá el signo: si f es positiva en todo [a, b], la integral tiene que ser positiva, y si da negativa hay una resta dada vuelta. Una cota rápida: el resultado tiene que estar entre (b − a)·(el mínimo de f) y (b − a)·(el máximo de f). Y si hiciste una sustitución, comprobá que los límites nuevos sean los de u.
Calcular la integral definida de 3√x − 4/x^2 entre 1 y 4.
Planteo: integral inmediata; se busca una primitiva y se aplica Barrow. Paso a potencias: 3x1/2 − 4x−2.
Una primitiva, sin C:
Los dos valores, primero el de arriba. 43/2 = (√4)³ = 8:
Control: derivando F sale 3√x − 4/x² ✔. Y de tamaño: en [1, 4] la función va de −1 a 5,75 y casi todo el tiempo es positiva, así que la integral tiene que ser positiva y menor que 3·5,75 ≈ 17 ✔.
Dónde se pierde el punto: el signo de 4/x (menos dividido menos da más) y restar al revés.
Una propiedad que conviene ver en el mismo ejemplo: si en lugar de f se integra 2f + 1 entre 1 y 4, la linealidad da 2·11 + 1·(4 − 1) = 25, sin volver a integrar. El 1 no aporta 1: aporta 1 por cada unidad de largo del intervalo.
Calcular la integral definida de 3x^2·√(x^3 + 1) entre 0 y 2, cambiando los límites de integración.
Planteo: adentro de la raíz está x³ + 1, cuya derivada es 3x², que está afuera. Sustitución, y con los límites pasados a u.
El cambio:
x = 0 → u = 1 · x = 2 → u = 9
Evalúo en u, sin volver a x. 93/2 = 27 y 13/2 = 1:
Control por el otro camino: la primitiva en x es (2/3)(x³ + 1)3/2, y (2/3)(93/2 − 13/2) = (2/3)·26 = 52/3 ✔. Y de tamaño: el integrando es positivo en [0, 2] y en x = 2 vale 12·3 = 36, así que la integral tiene que estar entre 0 y 2·36 = 72 ✔.
Dónde se pierde el punto: evaluar √u entre 0 y 2 (los límites de x), que da (2/3)·2√2 ≈ 1,89: un número que no tiene nada que ver.
Dónde se cae la mayoría
- Restar al revés, F(a) − F(b), o sumar los dos valores.
- Equivocarse con los signos al evaluar en un extremo negativo: (−1)³ = −1 y (−1)⁴ = 1.
- Hacer una sustitución y dejar los límites de x.
- Integrar una constante como si valiera ella misma: ∫ₐᵇ k dx = k·(b − a).
- Olvidarse de que F(0) no siempre es 0: cos(0) = 1 y e⁰ = 1.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Integral definida: regla de Barrow y propiedades →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — De un ingreso marginal a los excedentes15 puntos · resuelto paso a paso
- Segundo parcial — Una impropia que converge y otra que no15 puntos · resuelto paso a paso
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