Análisis Matemático (72) · Unidad 6 — Integrales
Excedente del consumidor y del productor
En el equilibrio todos pagan el mismo precio p₀, pero muchos habrían pagado más y muchos productores habrían vendido por menos. Esas ganancias se miden con áreas: EC entre la demanda y p₀, EP entre p₀ y la oferta, las dos de 0 a q₀.
La explicación
Lo que se ahorra quien compra
Recordá la convención de la materia: la demanda p = D(q) dice a qué precio se venden q unidades. Leída al revés, D(q) es lo máximo que está dispuesto a pagar el comprador de la unidad número q: los primeros compradores (q chico) la valoran mucho y pagarían caro; a medida que q crece, cada unidad nueva la compra alguien que la valora menos. Por eso la demanda baja.
Pero en el mercado todos pagan lo mismo: el precio de equilibrio p₀. El comprador de la unidad q, que estaba dispuesto a pagar D(q), se ahorra D(q) − p₀. Sumando ese ahorro sobre todas las unidades vendidas, de 0 a q₀, queda el excedente del consumidor:
Gráficamente es el área entre la curva de demanda (arriba) y la recta horizontal p = p₀ (abajo), desde el eje p hasta la cantidad de equilibrio. En el dibujo es la región de arriba.
Lo que gana de más quien vende
Con la oferta p = O(q) pasa lo simétrico: O(q) es el precio mínimo al que un productor estaría dispuesto a ofrecer la unidad q (los más eficientes, primero, a precios bajos; por eso la oferta sube). Como todos cobran p₀, el productor de la unidad q recibe p₀ − O(q) más de lo que pedía. Sumado:
Es el área entre la recta p = p₀ (arriba) y la curva de oferta (abajo), otra vez de 0 a q₀: la región de abajo del dibujo. El cuadernillo lo llama también excedente del fabricante.
Las dos cosas se miden en pesos (precio por cantidad), y tienen que dar positivas: son áreas. Qué quieren decir: si el EC es de $ 1600, los compradores, entre todos, habrían estado dispuestos a pagar $ 1600 más de lo que pagaron.
2. Si dan sólo el precio p₀, sacá q₀ de la demanda (D(q₀) = p₀) para el EC, o de la oferta para el EP.
3. Si dan sólo la cantidad q₀, el precio es p₀ = O(q₀) (o D(q₀)).
4. Plantealas: EC = ∫₀^q₀ (D − p₀) dq, EP = ∫₀^q₀ (p₀ − O) dq.
5. Integrá (con sustitución si la curva lo pide) y contestá en pesos.
Tres cuidados
- El límite de arriba es una cantidad, no un precio. Las dos integrales van de 0 a q₀. Un planteo con ∫₀^p₀ está mal aunque la función sea la correcta; en opción múltiple es uno de los distractores más usados.
- Se resta p₀, no el precio más bajo de la curva. ∫₀^q₀ D(q) dq sola es lo que los compradores habrían pagado en total; el excedente es eso menos lo que pagaron de verdad, p₀·q₀.
- Con curvas que no son rectas, el equilibrio da una cuadrática (una demanda homográfica: se pasa multiplicando), y una de las raíces no tiene sentido económico.
El caso lineal, para controlar
Si demanda y oferta son rectas, las dos regiones son triángulos: EC = q₀·(D(0) − p₀)/2 y EP = q₀·(p₀ − O(0))/2. Es la cuenta que conviene hacer al final para ver si la integral dio bien.
El control que conviene hacer siempre
Que el equilibrio cumpla las dos ecuaciones (D(q₀) = O(q₀) = p₀); que los dos excedentes den positivos; y, si las curvas son rectas, la fórmula del triángulo. Si una integral te da negativa, restaste al revés.
La demanda diaria de ravioles de una fábrica de pastas frescas es p = D(q) = 90 − 0,5q y la oferta es p = O(q) = 18 + 0,4q, con q en kilos y p en pesos por kilo. Hallar el equilibrio y los excedentes del consumidor y del productor.
El equilibrio: igualo las dos curvas.
Controlo con la otra curva: O(80) = 18 + 32 = 50 ✔. El equilibrio es P = (80, 50): 80 kilos a $ 50.
El excedente del consumidor:
= [40q − 0,25q²]₀⁸⁰ = 3200 − 1600 = $ 1600
El excedente del productor:
= [32q − 0,2q²]₀⁸⁰ = 2560 − 1280 = $ 1280
Control (triángulos): el EC es un triángulo de base 80 y altura D(0) − p₀ = 40: 80·40/2 = 1600 ✔. El EP, de base 80 y altura p₀ − O(0) = 32: 80·32/2 = 1280 ✔.
Qué quiere decir: los clientes habrían pagado, entre todos, $ 1600 más por día de lo que pagan; y la fábrica cobra $ 1280 más de lo mínimo que habría aceptado.
Dónde se pierde el punto: integrar D sin restar p₀ (da $ 5600), o integrar hasta 50 en vez de hasta 80.
La demanda de un producto es p = D(q) = 80/(q + 4) y la oferta es p = O(q) = 2q + 2, con q en miles de unidades y p en pesos. Calcular los excedentes del consumidor y del productor en el equilibrio.
El equilibrio: al igualar, paso multiplicando el denominador (q + 4 > 0):
La raíz negativa no tiene sentido como cantidad. Control: O(4) = 10 ✔.
El EC, con la primitiva de 80/(q + 4), que es 80·ln(q + 4):
= 80·ln 8 − 40 − 80·ln 4 = 80·ln 2 − 40 ≈ 15,45
El EP:
Como q está en miles, los excedentes están en miles de pesos: unos $ 15 450 y $ 16 000.
Control: los dos son positivos ✔. El EP es un triángulo (la oferta es recta): 4·(10 − 2)/2 = 16 ✔. El EC es un poco menos que el triángulo que tendría una demanda recta de D(0) = 20 a D(4) = 10 (4·10/2 = 20), porque la homográfica es cóncava hacia arriba y queda por debajo de esa cuerda ✔.
Dónde se pierde el punto: ln(8) − ln(4) = ln 2, que muchos dejan como ln(4) al olvidarse del valor en 0.
Dónde se cae la mayoría
- Integrar sin restar p₀: ∫₀^q₀ D(q) dq es lo que se habría pagado, no el excedente.
- Poner el precio como límite de integración: las dos integrales van de 0 a q₀.
- Usar para el EC la cantidad que sale de la oferta a otro precio, o hallar q₀ con la curva que no corresponde.
- Restar al revés (p₀ − D o O − p₀) y dar un excedente negativo.
- En un equilibrio con una cuadrática, quedarse con la raíz negativa.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Excedente del consumidor y del productor →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — De un ingreso marginal a los excedentes15 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 6
Integrales