Análisis Matemático (72) · Unidad 6 — Integrales
La función a partir de su marginal
Si se conoce el marginal (C′, I′, D′, G′), la función total es una primitiva suya. La constante no se inventa: la da un dato económico, como el costo fijo, que el ingreso es 0 cuando no se vende nada o lo que costó una producción conocida.
La explicación
Qué es un marginal, en dos líneas
En la unidad 4 las funciones marginales eran derivadas: el costo marginal C′(x) es la tasa a la que crece el costo cuando se produce una unidad más, y en la práctica es casi lo que cuesta producir la unidad x + 1: C′(x) ≈ C(x + 1) − C(x). Lo mismo el ingreso marginal I′, la demanda marginal D′ y la ganancia marginal G′. Se miden en $ por unidad.
Muchas veces lo que se conoce es justo eso: una empresa sabe cuánto le cuesta cada unidad extra según cuánto produce (mano de obra, materia prima, horas de máquina), pero no tiene la fórmula del costo total. Como el marginal es la derivada del total, el total es una primitiva del marginal:
La constante tiene nombre
Integrar deja una constante, y en economía esa constante significa algo. Por eso siempre viene con un dato:
- El costo fijo. C(0) es lo que se paga aunque no se produzca nada: el alquiler, los sueldos fijos, la amortización de las máquinas. Si dicen «el costo fijo es de $ 800», el dato es C(0) = 800.
- El ingreso sin ventas. Si no se vende nada no entra nada: I(0) = 0. Muchas veces el enunciado no lo dice, porque se sobreentiende.
- Un valor conocido. «Producir 16 kilos cuesta $ 1400» es C(16) = 1400. Ojo: ahí la constante no es el costo fijo. El costo fijo es C(0), y hay que calcularlo después, con la fórmula ya armada.
Y la ganancia: si G = I − C, entonces G(0) = I(0) − C(0) = 0 − costo fijo. Sin vender nada, se pierde el costo fijo: G(0) es negativa, no cero.
2. Integrá el marginal, con su constante K.
3. Traducí el dato a una ecuación: C(0) = costo fijo, I(0) = 0, C(x₀) = valor.
4. Despejá K y escribí la función total.
5. Contestá lo que se pregunta, en el contexto y con la unidad.
Del ingreso a la demanda, y de la demanda al ingreso
El ingreso total es precio por cantidad, I(q) = q·D(q), donde D(q) es el precio al que se venden q unidades. Entonces hay dos caminos que se toman mucho:
- Dan el ingreso marginal. Se integra, se usa I(0) = 0 y, si piden la demanda, se divide: D(q) = I(q)/q.
- Dan la demanda marginal. Se integra y se obtiene D con una constante. Si el dato es un ingreso («vendiendo 4 unidades se ingresan $ 100»), primero hay que pasarlo a precio: D(4) = I(4)/4 = 25. Recién ahí se despeja la constante, y al final se multiplica: I(x) = x·D(x).
El error más común de todo el tema es usar el dato de ingreso como si fuera un precio (D(4) = 100): da una constante que no tiene nada que ver.
Cuánto cuesta pasar de una producción a otra
Si ya producís 16 kilos y querés saber cuánto cuesta llegar a 25, la respuesta es C(25) − C(16), y no depende de la constante: se cancela en la resta. Es la misma cuenta que en el dibujo de abajo: el área bajo el costo marginal entre 16 y 25 es exactamente el salto del costo total. En el tema 6.5 eso tiene nombre: es la integral definida de C′ entre 16 y 25.
El control que conviene hacer siempre
Tres cosas, y ninguna es cuenta: derivá tu función total y fijate que vuelva el marginal; reemplazá el dato y fijate que se cumpla; y mirá que el resultado tenga sentido económico: un costo fijo negativo, una demanda que sube con la cantidad o un ingreso negativo son señales de un signo perdido.
Una tostadora de café tiene un costo marginal de C′(x) = 40 + 6√x pesos por kilo cuando tuesta x kilos por día, y tostar 16 kilos le cuesta $ 1400. Hallar el costo total C(x), el costo fijo y cuánto cuesta tostar 25 kilos.
Planteo: el costo total es una primitiva del costo marginal, con una constante que sale del dato C(16) = 1400. El dato no es en 0, así que la constante no va a ser el costo fijo.
Integro (√x = x1/2):
Uso el dato. 163/2 = (√16)³ = 64:
El costo fijo es lo que cuesta no tostar nada: C(0) = 0 + 0 + 504 = $ 504. Acá coincide con K porque los otros términos se anulan en 0; no siempre pasa (ver el p1).
Tostar 25 kilos: 253/2 = 125.
Control: C′(x) = 40 + 4·(3/2)x1/2 = 40 + 6√x ✔ y C(16) = 640 + 256 + 504 = 1400 ✔. Y una lectura marginal: C′(16) = 64, así que el kilo 17 debería costar unos $ 64; con la fórmula, C(17) − C(16) ≈ 64,4 ✔.
Dónde se pierde el punto: dar 1400 como costo fijo, o calcular 163/2 como 16·3/2 = 24.
Una empresa de licencias de software estima que su demanda marginal es D′(x) = −150/(x + 6)^2, donde x son las licencias vendidas (en cientos) y el precio está en miles de pesos. Vendiendo 4 cientos de licencias ingresa 100 mil pesos. Hallar la función demanda, el ingreso total y el ingreso con 9 cientos de licencias.
Planteo: integrando D′ sale la demanda con una constante. El dato es de ingreso, no de precio: hay que pasarlo a precio antes de usarlo.
Integro (sustitución u = x + 6):
El dato, traducido. I(4) = 100 y I = x·D, así que el precio con 4 cientos de licencias es D(4) = 100/4 = 25:
Control: D′(x) = −150/(x + 6)² ✔, e I(4) = 4·(15 + 10) = 100 ✔. La demanda baja con la cantidad (D′ < 0) y nunca baja de 10: tiene sentido para un precio.
Dónde se pierde el punto: usar D(4) = 100 (sale K = 85 y una demanda disparatada), y contestar D(9) cuando piden el ingreso.
Dónde se cae la mayoría
- Tomar la constante como si fuera el costo fijo cuando el dato es C(x₀) con x₀ ≠ 0: el costo fijo es C(0), y se calcula al final.
- Olvidarse de que I(0) = 0 (sin ventas no hay ingreso), o pensar que G(0) = 0: sin vender se pierde el costo fijo.
- Usar un dato de ingreso como si fuera de precio: si I(4) = 100, el precio es D(4) = 100/4.
- Confundir el ingreso con la demanda: D = I/q e I = q·D, no D = I.
- Tomar el costo medio C(x)/x como si fuera el marginal: el costo de una unidad más es C′(x).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar La función a partir de su marginal →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — De un ingreso marginal a los excedentes15 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 6
Integrales