Análisis Matemático (72) · Unidad 7 — Sucesiones y series
Sucesiones y progresiones aritméticas; interés simple
Una sucesión es una lista ordenada de números, a₁, a₂, a₃…, y casi siempre se la puede escribir con una fórmula. Cuando cada término le suma lo mismo al anterior es una progresión aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)·d. Es la forma de todo lo que crece un monto fijo por período, como el interés simple.
La explicación
Por qué aparece en una materia de Económicas
Un sueldo que se ajusta un monto fijo por mes, una deuda con interés simple, la producción de una fábrica que suma la misma cantidad cada semana: todos son listas de números que avanzan período a período. Saber escribir el término general permite contestar sin armar una tabla de cien renglones: cuánto habrá en el mes 30, o en qué mes se pasa de cierto valor.
Sucesiones: la lista y la fórmula
Una sucesión es una lista infinita y ordenada: a₁, a₂, a₃, … El número n es la posición y aₙ es el término que está ahí. Se puede dar de dos maneras:
- Por su fórmula (el término general): aₙ = (n + 1)/(2n) da a₁ = 1, a₂ = 3/4, a₃ = 2/3, a₄ = 5/8. Para obtener un término, se reemplaza n.
- Por sus primeros términos, suponiendo que el patrón sigue: 3, 7, 11, 15, … (suma 4 cada vez); 1/3, 2/5, 3/7, 4/9, … (el numerador es n y el denominador 2n + 1).
Para encontrar el término general de una lista conviene mirar por separado numeradores y denominadores, y preguntarse si cada término suma lo mismo al anterior (aritmética), lo multiplica por lo mismo (geométrica, en 7.2) o si hay un signo que alterna, que se escribe con (−1)ⁿ: −1, 1/2, −1/3, 1/4, … es aₙ = (−1)ⁿ/n.
Progresiones aritméticas
Una sucesión es una progresión aritmética cuando la diferencia entre un término y el anterior es siempre la misma, d (la diferencia). Si se conoce el primero:
El (n − 1) es porque para llegar al término n desde el primero se dan n − 1 saltos. 3, 7, 11, 15, … tiene a₁ = 3 y d = 4: aₙ = 3 + 4(n − 1) = 4n − 1.
1. Entre la posición k y la m hay m − k saltos, así que d = (aₘ − aₖ)/(m − k).
2. El primero sale de retroceder: a₁ = aₖ − (k − 1)·d.
3. Con a₁ y d se escribe aₙ, y se controla que dé los dos datos.
Si el dato no es un término sino, por ejemplo, la suma de los primeros dos o tres, se escribe cada uno en función de a₁ y d y queda un sistema de dos ecuaciones.
La suma de los primeros n términos
Sumando la lista de adelante para atrás y de atrás para adelante, cada par da a₁ + aₙ, y hay n pares; la suma quedó contada dos veces:
Los primeros 50 términos de 4n − 1 suman 50·(3 + 199)/2 = 5050.
Interés simple: la aritmética de la plata
Con interés simple, cada período se cobra (o se paga) un porcentaje fijo del capital inicial, y ese interés no se reinvierte. Si el capital es C y la tasa por período es i (en tanto por uno: 3 % es 0,03):
Mₙ = C + n·C·i = C·(1 + n·i)
Mₙ es una progresión aritmética de diferencia C·i: sube lo mismo cada período. Lo mismo vale para cualquier cosa que crezca un monto fijo, como una tarifa que aumenta $ 300 por mes.
«¿En cuántos períodos se llega a…?» se contesta con una desigualdad y el primer entero que la cumple: si Mₙ = 50 000 + 1 800n y se quiere pasar $ 60 000, 1 800n > 10 000 da n > 5,5…, así que hacen falta 6 períodos (con 5 no alcanza). Si la cuenta da un entero justo, hay que leer si la pregunta es «llegar» (sirve ese entero) o «superar» (hace falta el siguiente).
El control que conviene hacer siempre
Generá los primeros términos con tu fórmula y comparalos con los datos. En los problemas de «cuántos períodos», probá el número que diste y el anterior: el tuyo tiene que cumplir la condición y el anterior no.
Hallar la progresión aritmética aₙ que cumple a₃ = 7 y a₈ = 22. Calcular a₂₀ y la suma de los primeros 20 términos.
1. La diferencia. Del término 3 al 8 hay 8 − 3 = 5 saltos, y en esos saltos la sucesión subió 22 − 7 = 15:
2. El primer término. Del a₃ se retrocede dos saltos:
3. El término general:
Control con los datos: a₃ = 9 − 2 = 7 ✔ y a₈ = 24 − 2 = 22 ✔.
4. a₂₀ y la suma.
S₂₀ = 20·(1 + 58)/2 = 10·59 = 590
Control de la suma por otro camino: 3·(1 + 2 + … + 20) − 2·20 = 3·210 − 40 = 590 ✔.
Dónde se pierde el punto: tomar d = 15 (la subida total, sin dividir por los saltos), o escribir aₙ = 1 + 3n, que da a₃ = 10: con el control del paso 3 se ve enseguida.
Una compra de $ 90 000 se financia con un interés simple del 2,5 % mensual sobre el capital. a) ¿Cuánto interés se suma por mes? b) Escribir la deuda Dₙ al cabo de n meses y explicar por qué es una progresión aritmética. c) ¿A partir de qué mes la deuda supera los $ 120 000?
a) El interés de un mes es el 2,5 % del capital inicial, y es el mismo todos los meses:
b) La deuda: a los 90 000 se le suman 2 250 por cada mes que pasa.
Es aritmética porque Dₙ₊₁ − Dₙ = 2 250 para todo n: sube lo mismo cada mes. (Contando D₀ = 90 000 como el término de hoy, el «primer término» es el del mes 0; por eso acá aparece n y no n − 1.)
c) La desigualdad:
2 250n > 30 000 → n > 13,33…
El primer entero que la cumple es n = 14: a partir del mes 14.
Control: D₁₃ = 90 000 + 29 250 = 119 250, que no supera ✔; D₁₄ = 121 500, que sí ✔.
Dónde se pierde el punto: contestar 13 por redondear para abajo (en el mes 13 todavía no se llegó), o calcular cada mes el 2,5 % de la deuda del mes anterior, que ya no es interés simple sino compuesto.
Dónde se cae la mayoría
- Escribir aₙ = a₁ + n·d: al término n se llega con n − 1 saltos, no con n.
- Calcular la diferencia con dos términos no consecutivos sin dividir por la cantidad de saltos: entre a₄ y a₉ hay cinco diferencias.
- En el interés simple, calcular cada mes el porcentaje sobre el monto del mes anterior: eso es interés compuesto.
- En «a partir de qué período se supera…», dar el número con coma o redondear para abajo: hace falta el primer entero que cumple la condición.
- Confundir «llegar a» con «superar» cuando la cuenta da un entero justo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Sucesiones y progresiones aritméticas; interés simple →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Las ventas de un videojuego, mes a mes y para siempre20 puntos · resuelto paso a paso
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