Análisis Matemático (72) · Unidad 7 — Sucesiones y series
Series geométricas con un parámetro
Cuando la razón depende de un parámetro, la serie converge para los valores que cumplen |r| < 1: es una inecuación con módulo. Y si se pide que la suma dé un número, se plantea la ecuación y se descartan las soluciones que dejan |r| ≥ 1.
La explicación
Una razón que depende de k
En Σ (n = 0 a ∞) (k/2)ⁿ la razón es k/2, así que la serie converge o no según cuánto valga k. La condición es siempre la misma, |r| < 1, pero ahora es una inecuación, y su solución es el conjunto de los k para los que converge:
2. Planteá |r| < 1 y resolvé como en 1.3: si r = (k − 1)/4, queda |k − 1| < 4, o sea −3 < k < 5.
3. Los bordes, donde |r| = 1, no entran: con r = 1 se suma siempre lo mismo y la suma crece sin tope; con r = −1 las sumas parciales saltan entre dos valores y no se acercan a ninguno.
El parámetro en el denominador
Si la razón es c/k, la condición |c/k| < 1 se lee al revés: el cociente es chico cuando k es grande. Con k ≠ 0,
El resultado es un «lejos», dos semirrectas. Si hay algo más en el denominador, como 2/(k + 1), queda |k + 1| > 2: los k a más de 2 del −1.
Hallar el parámetro para que la suma dé un valor
Con la suma escrita en función del parámetro, se iguala al dato y se despeja. Pero la fórmula primer término/(1 − r) sólo vale si la serie converge, así que cada solución se controla:
2. Igualá al valor pedido y resolvé la ecuación.
3. Para cada solución, calculá r y mirá si |r| < 1. La que no lo cumple se descarta: para ese valor la serie ni siquiera tiene suma.
Por ejemplo, Σ (n = 0 a ∞) 2·(a/5)ⁿ = 8 da 2/(1 − a/5) = 8, 1 − a/5 = 1/4 y a = 15/4. La razón queda 3/4, que cumple |r| < 1 ✔.
Converge, pero tarda
Que una serie converja no dice nada de la velocidad. Con r = 1/2 cada término es la mitad del anterior y en doce términos la suma parcial ya está a menos de una milésima de la suma. Con r = 9/10, cada término es el 90 % del anterior: después de 40 términos todavía falta un 1,5 % para llegar. Cuanto más cerca de 1 está |r|, más lento se acerca. En el borde, con |r| = 1, directamente no llega nunca.
Opción múltiple con el parámetro en un rango
A veces no se pide el conjunto sino decidir qué pasa si el parámetro está en un intervalo: «si 3 < a < 5, ¿converge Σ aⁿ/5ⁿ?». Se mira la razón en todo el rango: a/5 está entre 3/5 y 1, siempre menor que 1, así que converge para todos esos a. Y Σ aⁿ/3ⁿ tiene razón entre 1 y 5/3: diverge para todos.
El control que conviene hacer siempre
Probá un valor de adentro del conjunto (la razón tiene que dar menor que 1 en módulo), uno de afuera y uno del borde. Y si hallaste el parámetro para una suma dada, reemplazalo: con ese valor, la suma parcial de unos pocos términos tiene que acercarse al número pedido.
Hallar todos los k ∈ ℝ para los que converge la serie Σ (n = 0 a ∞) (2k − 1)ⁿ/5ⁿ, y calcular su suma para k = 2.
1. La razón. (2k − 1)ⁿ/5ⁿ = ((2k − 1)/5)ⁿ, así que r = (2k − 1)/5.
2. La condición de convergencia:
−5 < 2k − 1 < 5
−4 < 2k < 6 → −2 < k < 3
La serie converge para k ∈ (−2, 3). Los bordes no entran: con k = 3 la razón es 1, y con k = −2 es −1.
3. La suma para k = 2. El 2 está en el intervalo ✔. La razón es 3/5, y el primer término (n = 0) es 1:
Control: 1 + 0,6 + 0,36 + 0,216 = 2,176, y sigue subiendo hacia 2,5 ✔. Con k = 4, fuera del intervalo, la razón es 7/5 y los términos crecen: diverge ✔.
Dónde se pierde el punto: resolver (2k − 1)/5 < 1 sin el módulo. Sale k < 3, que incluye valores como k = −5, donde la razón es −11/5 y la serie diverge.
a) Hallar los k para los que converge Σ (n = 1 a ∞) 3ⁿ/kⁿ. b) Hallar a tal que Σ (n = 0 a ∞) 2·(a/5)ⁿ = 8.
a) El parámetro en el denominador. 3ⁿ/kⁿ = (3/k)ⁿ, con k ≠ 0:
Converge para k ∈ (−∞, −3) ∪ (3, +∞). Control: con k = 6, r = 1/2 ✔ converge; con k = 2, r = 3/2 y diverge ✔; con k = −3, r = −1 y diverge (el borde no entra) ✔.
b) Se iguala la suma al dato. Primer término (n = 0): 2; razón a/5.
a/5 = 3/4 → a = 15/4
Se controla la convergencia: r = 3/4, con |r| < 1 ✔. Y la suma: 2/(1/4) = 8 ✔.
Dónde se pierde el punto: en a), contestar (−3, 3) por resolver |3/k| < 1 como si fuera |k/3| < 1: justo al revés. En b), no controlar la razón: acá daba bien, pero en otras ecuaciones aparece una solución con |r| ≥ 1 que hay que tachar.
Dónde se cae la mayoría
- Resolver r < 1 en vez de |r| < 1: se pierden los valores negativos que también hacen converger, o se aceptan razones menores que −1.
- Incluir los bordes, donde |r| = 1: con r = 1 o r = −1 la serie diverge.
- Con el parámetro en el denominador, escribir |k| < 3 en vez de |k| > 3: el cociente es chico cuando k es grande.
- No descartar la solución de la ecuación que deja |r| ≥ 1: para ese valor la serie no tiene suma.
- Usar la fórmula de n = 0 cuando la serie arranca en n = 1 o 2: el primer término cambia.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Series geométricas con un parámetro →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Las ventas de un videojuego, mes a mes y para siempre20 puntos · resuelto paso a paso
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