Análisis Matemático (72) · Unidad 7 — Sucesiones y series
Progresiones geométricas e interés compuesto
En una progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por la misma razón r: aₙ = a₁·r^(n−1). Es la forma de todo lo que crece un porcentaje por período —un plazo fijo que se renueva, la inflación, un alquiler que se actualiza— y la pregunta «¿en cuántos períodos?» se contesta con logaritmos.
La explicación
Crecer sumando o crecer multiplicando
En 7.1 las cosas subían un monto fijo. Pero la mayoría de las cantidades de la economía suben un porcentaje: si los precios aumentan un 4 % por mes, el aumento de cada mes se calcula sobre el precio del mes anterior, que ya estaba aumentado. Eso ya no es sumar lo mismo: es multiplicar por lo mismo, por 1,04, y la sucesión que sale es geométrica.
Progresiones geométricas
Una sucesión es una progresión geométrica cuando el cociente entre un término y el anterior es siempre el mismo, r (la razón):
4, 12, 36, 108, … tiene a₁ = 4 y r = 3: aₙ = 4·3^(n−1). Con r negativa los signos alternan: 6, −3, 3/2, −3/4, … tiene r = −1/2.
1. El cociente de los dos se lleva todo menos la razón: aₘ/aₖ = r^(m−k).
2. Sacá la raíz de orden m − k. Si ese orden es impar, hay una sola razón (con el signo del cociente). Si es par, el cociente tiene que ser positivo y hay dos: r y −r.
3. El primero: a₁ = aₖ/r^(k−1). Controlá que la fórmula dé los dos datos.
Por ejemplo, a₂ = 3 y a₄ = 75 dan r² = 25: r = 5 ó r = −5, y hay dos progresiones (3/5, 3, 15, 75, … y −3/5, 3, −15, 75, …). Si el enunciado dice «con razón positiva», queda una.
La suma de los primeros n términos
Sale de restar Sₙ − r·Sₙ: casi todos los términos se cancelan y queda a₁ − a₁rⁿ. Los primeros 6 términos de 4·3^(n−1) suman 4·(1 − 729)/(1 − 3) = 1456.
Interés compuesto: el plazo fijo que se renueva
Un plazo fijo se contrata con una tasa nominal anual (TNA). El interés de un mes es la doceava parte: con TNA del 36 %, la tasa mensual es 36 %/12 = 3 %. Si al terminar el mes se renueva todo —capital más intereses—, el mes siguiente el 3 % se calcula sobre un monto más grande. Cada mes el monto se multiplica por 1 + i:
Mₙ es una progresión geométrica de razón 1 + i (contando M₀ como el término del mes 0). Comparado con el interés simple, M₀·(1 + n·i), el compuesto da lo mismo al primer mes y más a partir del segundo, porque también cobra interés sobre los intereses. La diferencia es chica al principio y enorme a la larga.
Lo mismo pasa con la inflación (un 4 % mensual multiplica los precios por 1,04 cada mes), con un alquiler que se actualiza un porcentaje por trimestre o con una deuda que se refinancia con interés sobre interés.
«¿En cuántos períodos?»: logaritmos
Para saber cuándo un monto pasa de cierto valor hay que despejar un exponente, y eso lo hace el logaritmo:
El cociente casi nunca da entero; la respuesta es el primer entero mayor. Con 3 % mensual, para duplicar: n > ln 2/ln 1,03 ≈ 23,4, así que hacen falta 24 meses.
El control que conviene hacer siempre
Multiplicá a mano dos o tres períodos y compará con tu fórmula. En los «¿cuántos períodos?», calculá el monto con tu n y con n − 1: el tuyo tiene que pasar el valor y el anterior no. Y si te pidieron comparar con interés simple, el compuesto nunca puede dar menos.
Hallar la progresión geométrica aₙ que cumple a₃ = 20 y a₆ = 160, y calcular la suma de sus primeros 8 términos.
1. La razón. Del término 3 al 6 hay tres multiplicaciones por r:
El orden de la raíz es impar, así que hay una sola razón.
2. El primer término. Del a₃ se divide dos veces por r:
3. El término general:
Control: a₃ = 5·4 = 20 ✔, a₆ = 5·32 = 160 ✔.
4. La suma de los 8 primeros, con la fórmula:
Control sumando: 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 + 640 = 1275 ✔.
Dónde se pierde el punto: dividir 160/20 = 8 y tomar r = 8, sin sacar la raíz de los tres saltos; o escribir aₙ = 5·2ⁿ, que da a₃ = 40.
Una deuda de $ 200 000 se refinancia con un interés compuesto del 5 % mensual. a) ¿Cuánto se debe a los 3 meses? b) ¿Cuánto se debería con un interés simple del 5 % mensual? c) ¿A partir de qué mes la deuda supera el doble de la original?
a) Cada mes se multiplica por 1,05:
Mes a mes: 210 000; 220 500; 231 525 ✔. El interés del segundo mes ya no es 10 000 sino 10 500, porque se cobra sobre la deuda del primero.
b) Con interés simple se suman tres veces 10 000:
La diferencia, $ 1 525, es el interés sobre los intereses. A tres meses es poco; a dos años no.
c) El doble con logaritmos:
n > ln 2/ln 1,05 ≈ 0,6931/0,0488 ≈ 14,2
El primer entero es n = 15. Control: 1,05¹⁴ ≈ 1,980 (todavía no) y 1,05¹⁵ ≈ 2,079 ✔.
Dónde se pierde el punto: en c), contestar 14 (redondeando para abajo) o 20 (que es lo que tardaría con interés simple: 20·5 % = 100 %).
Dónde se cae la mayoría
- Usar la TNA entera como tasa mensual: con TNA del 42 %, el interés de un mes es 3,5 %, no 42 %.
- Olvidar la razón negativa cuando el exponente es par: r² = 9 da r = 3 o r = −3.
- Calcular el interés compuesto como simple (sumando n veces el interés del primer mes), o multiplicar por la tasa n veces en vez de elevar a la n.
- Escribir aₙ = a₁·rⁿ: con esa fórmula el primer término sería a₁·r.
- Redondear para abajo el número de períodos: si la cuenta da 11,8 meses, a los 11 todavía no se llegó.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Progresiones geométricas e interés compuesto →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Las ventas de un videojuego, mes a mes y para siempre20 puntos · resuelto paso a paso
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