Análisis Matemático (72) · Unidad 7 — Sucesiones y series
Series geométricas: convergencia y suma
Una serie geométrica suma infinitos términos que se multiplican siempre por la misma razón r. Converge si y sólo si |r| < 1, y entonces su suma es el primer término dividido por 1 − r. Casi todo el trabajo es llevar el término general a la forma a·rⁿ y fijarse desde qué n arranca.
La explicación
Sumar infinitos términos
Sumar infinitas cosas no se puede hacer término por término. Lo que se hace es mirar las sumas parciales, S₁ = a₁, S₂ = a₁ + a₂, S₃ = a₁ + a₂ + a₃, …, y preguntarse a qué número se acercan. Si se acercan a un número S, se dice que la serie converge y que su suma es S; si no, que diverge.
Es la idea de la paradoja de siempre: si una fábrica produce 3 toneladas en un período y cada período produce 2/5 de lo del anterior, la producción total nunca pasa de 5 toneladas, aunque produzca para siempre.
La serie geométrica
La suma finita de 7.2 escrita desde n = 0 es a·(1 − rⁿ)/(1 − r). Cuando n crece, todo depende de rⁿ: si |r| < 1, rⁿ se va a 0 y la suma parcial se va a a/(1 − r); si |r| ≥ 1, rⁿ no se achica y los términos no se van a 0.
diverge si |r| ≥ 1 (y a ≠ 0)
La regla que no depende de dónde arranca
La fórmula a/(1 − r) es para una serie que empieza en n = 0, donde el primer término es a·r⁰ = a. Si arranca en n = 1 o en n = 2, el primer término es otro. La forma segura, que sirve siempre:
Σ (n = 2 a ∞) (1/4)ⁿ tiene primer término (1/4)² = 1/16, así que suma (1/16)/(3/4) = 1/12. Usar 1/(1 − 1/4) = 4/3 sería sumarle los términos de n = 0 y n = 1, que la serie no tiene.
Llevar el término general a la forma a·rⁿ
Casi ninguna serie viene escrita como a·rⁿ: hay que acomodar las potencias.
2. Juntá las potencias de n en una sola: 2ⁿ/5ⁿ = (2/5)ⁿ.
3. Leé la razón r (lo que queda elevado a la n) y mirá si |r| < 1.
4. Calculá el primer término reemplazando el primer n de la suma, y dividí por 1 − r.
Sumas de dos geométricas y series alternadas
Si el término es una suma de dos geométricas, se separa en dos series. Si las dos convergen, la suma es la suma de las dos. Si una converge y la otra diverge, la serie diverge: (3ⁿ + 6ⁿ)/5ⁿ = (3/5)ⁿ + (6/5)ⁿ diverge por el segundo pedazo.
Con razón negativa los términos alternan de signo y las sumas parciales se acercan a la suma saltando de un lado al otro. Nada cambia en la regla: con r = −2/3, |r| = 2/3 < 1, converge, y 1 − r = 5/3.
Un decimal periódico es una serie
0,151515… = 15/100 + 15/100² + … = Σ (n = 1 a ∞) 15·(1/100)ⁿ, que suma (15/100)/(99/100) = 15/99 = 5/33. La regla de la escuela, «el período sobre tantos nueves como cifras», es esta cuenta.
Datos de la suma para hallar un término
Si de una geométrica se sabe un término y la suma, la ecuación «primer término/(1 − r) = suma» da r. Por ejemplo, si a₁ = 2 y Σ (n = 1 a ∞) aₙ = 8, entonces 2/(1 − r) = 8, r = 3/4, y desde ahí se calcula cualquier término.
El control que conviene hacer siempre
Sumá los tres o cuatro primeros términos: la suma parcial tiene que ir acercándose a lo que te dio. Si ya con tres términos te pasaste de tu resultado (y los términos son positivos), la suma está mal, casi siempre por el primer término.
Analizar la convergencia de la serie Σ (n = 2 a ∞) 2^(n+1)/5^(n−1) y, si converge, calcular su suma.
1. Se acomoda el término general. Separando lo que no depende de n:
= 10·2ⁿ/5ⁿ = 10·(2/5)ⁿ
2. La razón. r = 2/5, y |2/5| < 1: converge.
3. El primer término es el de n = 2 (no el 10 de adelante):
(Directo en la fórmula original: 2³/5¹ = 8/5 ✔.)
4. La suma:
Control con sumas parciales: 8/5 = 1,6; + 16/25 = 2,24; + 32/125 = 2,496; + 64/625 = 2,598… y 8/3 ≈ 2,667 ✔: se acercan por abajo.
Dónde se pierde el punto: usar 10/(1 − 2/5) = 50/3, que sería la suma desde n = 0, con dos términos de más (10 y 4). Y tomar la razón como 2/5^(−1) o algo así por no separar el 5 del exponente n − 1.
a) Calcular Σ (n = 0 a ∞) (−3)ⁿ/4^(n+1). b) Analizar la convergencia de Σ (n = 0 a ∞) (5ⁿ − 4^(n+1))/6ⁿ y, si converge, calcular su suma. c) Escribir 0,151515… como fracción usando una serie geométrica.
a) Alternada. (−3)ⁿ/4^(n+1) = (1/4)·(−3/4)ⁿ: razón −3/4, con |−3/4| < 1, converge. Primer término (n = 0): 1/4.
Control: 1/4 − 3/16 + 9/64 − 27/256 ≈ 0,25 − 0,1875 + 0,1406 − 0,1055 = 0,098, y va saltando alrededor de 1/7 ≈ 0,143 ✔.
b) Dos geométricas. Se separa:
Las dos razones, 5/6 y 2/3, tienen módulo menor que 1: las dos convergen, y la serie también.
c) El periódico. 0,151515… = 15/100 + 15/10 000 + … = Σ (n = 1 a ∞) 15·(1/100)ⁿ:
Control: 5 ÷ 33 = 0,151515… ✔
Dónde se pierde el punto: en a), escribir 1 − r = 1 − 3/4 por perder el signo (da 1, que no es la suma); en b), tomar el 4^(n+1) como 4ⁿ, que da 6 − 3 = 3.
Dónde se cae la mayoría
- Usar a/(1 − r) con a = el número de adelante cuando la serie no arranca en n = 0: la suma es primer término/(1 − r), y el primer término depende de dónde arranca.
- Sumar una serie geométrica sin mirar si |r| < 1: con r = 6/5 la fórmula da un número, pero la serie diverge.
- Leer mal la razón con potencias combinadas: en 3^(2n)/10ⁿ la razón es 9/10, no 3/10.
- Sumar dos series cuando una de ellas diverge: el resultado diverge.
- Olvidar el signo en una alternada: con r = −2/3, 1 − r es 5/3, no 1/3.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Series geométricas: convergencia y suma →Dónde entra este tema en el parcial
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