Matemática (61) del CBC, tema por tema

Matemática (61) es la de nueve horas semanales que cursan Agronomía, Ciencias Ambientales, Biotecnología y Ciencias Biológicas. No es la misma que Matemática (51), la de Medicina y Arquitectura, aunque compartan el nombre y el comienzo: ésta va bastante más lejos. Arranca con funciones y límites, sigue con derivadas e integrales hasta las ecuaciones diferenciales, y después suma sistemas lineales, matrices, geometría en el espacio y probabilidad. Es mucha materia para un cuatrimestre, y quien se atrasa en las primeras prácticas llega al parcial con la mitad sin ver.

Abajo está el programa entero: las doce prácticas en orden, cada una como una unidad. Cada tema tiene su página con la explicación completa, un ejemplo resuelto paso a paso y los errores típicos, y los problemas de aplicación —poblaciones que crecen, cuerpos que se enfrían, sustancias que decaen— están planteados como los del parcial.

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Todos los temas

Unidad 0 — Preliminares

0.1 Cuentas con fracciones, potencias y raícesUna cuenta combinada se desarma en términos, cada término se resuelve por separado y recién al final se suma. Casi todos los errores vienen de hacer una operación antes de tiempo…
0.2 Expresiones con letras: reducir, factorizar y qué propiedades valenCon letras se opera igual que con números, con una sola novedad: hay valores prohibidos. Y para saber si una «propiedad» vale, alcanza con un solo par de números donde falle; para…
0.3 Ecuaciones, y qué se deduce de quéResolver una ecuación es buscar todos los valores que la cumplen, y a veces son ninguno o todos. Con x en un denominador, el candidato que sale de la cuenta hay que revisarlo…
0.4 Del enunciado a la ecuación: porcentajes y problemasUn problema con texto se resuelve en dos partes: traducirlo a símbolos y resolver la cuenta. La segunda ya la sabés; la primera se entrena con un diccionario de frases, y con los…

Unidad 1 — Números reales

1.1 Conjuntos e intervalos: pertenencia y operacionesUn intervalo es la forma corta de escribir un pedazo de la recta. Casi todas las respuestas de la materia son conjuntos, y para escribirlos hacen falta tres cosas: saber en qué…
1.2 Inecuaciones lineales y conjuntos por condicionesUna inecuación lineal se despeja como una ecuación, con una sola regla nueva: multiplicar o dividir por un negativo da vuelta la desigualdad. Y a veces la x se cancela: entonces…
1.3 Módulo y distancia en la recta|x − c| es la distancia entre x y c. Leído así, |x − c| r son los que están lejos: dos pedazos, uno a cada lado.
1.4 El plano: puntos, simétricos, regiones y distanciasUn punto del plano son dos números, y casi todo lo que se pregunta sobre él se contesta con dos herramientas: cambiar signos (simétricos) y Pitágoras (distancias). Los puntos a…

Unidad 2 — Funciones: generalidades, lineales, cuadráticas y polinómicas

2.1 Qué es una función: leer gráficos, dominio e imagenUna función le asigna a cada x de su dominio un único valor f(x). Un gráfico en contexto se lee con esa idea: el eje horizontal es el tiempo, el vertical la magnitud, y cada…
2.2 Función lineal: pendiente, ordenada y la recta por datosf(x) = mx + b: la pendiente m es cuánto sube por cada paso a la derecha, y b es dónde corta al eje y. Con dos datos cualesquiera se encuentran las dos, y el signo de m ya dice…
2.3 Intersección y comparación de rectas; problemas de tarifasDos rectas se cortan donde f(x) = g(x). Ese punto parte la recta real en dos: de un lado f queda arriba y del otro abajo. En una tarifa, es la cantidad a partir de la cual…
2.4 Función cuadrática: vértice, imagen, ceros y signoTodo lo de una parábola sale de dos datos: el signo de a (si abre para arriba o para abajo) y el vértice. Con eso se leen la imagen y el crecimiento; con los ceros, el signo. Y si…
2.5 Hallar la cuadrática, intersecar y problemasPara armar una cuadrática se elige la forma que usa los datos: con el vértice, la canónica; con los ceros, la factorizada. Y en un problema, el máximo de un área que es una…
2.6 Polinomios: ceros, armar uno con datos, y gráficos corridosUn polinomio factorizado muestra sus ceros, y al revés: con los ceros y un valor más se arma el polinomio. Y cambiar la fórmula de una manera fija mueve el gráfico de una manera…

Unidad 3 — Composición, inversa, exponenciales, logaritmos y trigonometría

3.1 Composición de funcionesComponer es encadenar dos máquinas: lo que sale de una entra en la otra. En f∘g trabaja primero g, la de la derecha, y como el orden importa, f∘g y g∘f casi nunca son la misma…
3.2 Función inversaLa inversa deshace lo que hizo la función: si f lleva el 2 al 7, f⁻¹ trae el 7 al 2. Por eso el dominio y la imagen se intercambian, y por eso los dos gráficos son espejo respecto…
3.3 Exponenciales y logaritmos: gráficos, dominios y ecuacionesUna exponencial nunca llega a cero y un logaritmo no existe para los números que no son positivos. Esas dos frases dan la imagen, el dominio y la mitad de las respuestas de este…
3.4 Inversas de exponenciales y logaritmos; modelosLa inversa de una exponencial es un logaritmo y al revés, así que el dominio de una es la imagen de la otra. Y en los modelos de crecimiento y enfriamiento el logaritmo aparece…
3.5 Seno, coseno y tangente: radianes, valores, imagen y extremosTodo sale de la circunferencia de radio 1: el coseno es la sombra sobre el eje x, el seno la altura y la tangente su cociente. Con los ángulos del primer cuadrante y el signo de…
3.6 Ecuaciones trigonométricas en un intervaloUna ecuación trigonométrica casi nunca tiene una sola solución: el seno y el coseno pasan dos veces por cada valor en una vuelta, la tangente una vez cada media vuelta, y después…
3.7 Triángulos rectángulosEn un triángulo rectángulo el seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo son cocientes entre lados. Con eso y Pitágoras, dos datos alcanzan para saber todo el triángulo, y…
3.8 Teoremas del seno y del cosenoPara un triángulo cualquiera hay dos herramientas: el teorema del seno, cuando conocés un lado y su ángulo opuesto, y el del coseno, cuando no. Con ellas se mide lo que no se…

Unidad 4 — Límites, asíntotas y continuidad

4.1 Límites en el infinito y asíntotas horizontalesCuando x se va lejos, en cada función manda un solo término: la potencia más alta en un polinomio, el cociente de las más altas en una racional, lo que haga el exponente en una…
4.2 Límites laterales y asíntotas verticalesA un punto se llega por dos lados, y lo que hace la función puede ser distinto de cada uno. Donde algún lateral se dispara hay una asíntota vertical; donde el denominador se anula…
4.3 La función homográfica, su inversa y asíntotas en contextoUna homográfica es una recta dividida por otra, y se lee casi sin cuentas: el denominador da la asíntota vertical, el cociente de los coeficientes de la x da la horizontal, y la…
4.4 Continuidad y funciones partidasContinua en un punto quiere decir tres cosas a la vez: que la función esté definida ahí, que el límite exista y que los dos coincidan. Las funciones de siempre ya son continuas en…
4.5 Bolzano: el signo de una continua, inecuaciones y aproximar cerosUna función continua no puede pasar de positiva a negativa sin tocar el cero. Dicho al revés: entre dos ceros seguidos el signo no cambia. Con eso alcanza un número de prueba por…

Unidad 5 — Derivadas y regla de L'Hôpital

5.1 La derivada: definición y reglasLa derivada es la pendiente de la recta tangente, y se calcula como el límite de la pendiente de las secantes. Ese límite se hace de verdad una vez por función sencilla; después…
5.2 La regla de la cadenaCuando una función está adentro de otra, se deriva la de afuera sin tocar lo de adentro, y se multiplica por la derivada de lo de adentro. Si adentro hay otra función, se repite…
5.3 Recta tangente: con condiciones y con parámetrosUna tangente son dos datos: por dónde pasa y con qué inclinación. Casi todos los ejercicios del tema son ese mismo par de ecuaciones, f(x₀) y f′(x₀), leído en distinto orden.
5.4 Derivadas sucesivas, velocidad y aceleraciónLa derivada de la derivada es otra función, y se puede seguir derivando. Con una posición que depende del tiempo, la primera derivada es la velocidad y la segunda es la…
5.5 La regla de L'HôpitalAnte un 0/0 o un ∞/∞, el límite del cociente es el límite del cociente de las derivadas, derivando arriba y abajo por separado. Antes de usarla, se verifica que haya…

Unidad 6 — Estudio de funciones y optimización

6.1 La derivada y la forma del gráficoEl signo de f′ dice dónde f sube y dónde baja, y los cambios de signo son los máximos y los mínimos. Con eso se lee un gráfico, se cuentan las soluciones de f(x) = c y se dibuja…
6.2 Estudio completo de polinomios y racionalesEstudiar una función es juntar en un gráfico todo lo que dicen el dominio, el signo de f′ y los límites. En un polinomio mandan el grado y el coeficiente principal; en una…
6.3 Estudio con exponenciales, logaritmos y trigonométricasEl método es el de siempre, con tres cosas que deciden el ejercicio: la exponencial nunca se anula, el logaritmo recorta el dominio, y en un intervalo trigonométrico las…
6.4 Extremos absolutos y modelos biológicosEn un intervalo cerrado, una función continua alcanza siempre un valor más alto y uno más bajo, y están en un punto crítico o en un borde: se evalúan todos y se comparan. Es lo…
6.5 Problemas de optimizaciónAcá la función no viene dada: la armás vos, con una variable, usando el dato que ata las medidas entre sí. Derivar es lo último y lo más fácil; el ejercicio se gana en el planteo…

Unidad 7 — Integrales, áreas y ecuaciones diferenciales

7.1 Primitivas, la primitiva con condición y el movimientoIntegrar es derivar al revés: buscar la función cuya derivada es la que tenés. Como sumarle una constante no cambia la derivada, las respuestas son infinitas, y un dato del tipo…
7.2 Método de sustituciónSi en el integrando hay una función metida adentro de otra y, multiplicando, aparece la derivada de la de adentro, se la llama u y la integral se vuelve una de la tabla. El método…
7.3 Integración por partesCuando el integrando es un producto de dos funciones de familias distintas y ninguna es la derivada de la otra, partes cambia la integral por otra. Sirve si la nueva es más fácil…
7.4 Fracciones simplesUn cociente de polinomios cuyo denominador es un producto de dos factores lineales distintos se parte en dos fracciones con un número arriba. Cada una se integra en un logaritmo…
7.5 Integral definida y regla de BarrowLa integral definida es el límite de sumar rectángulos cada vez más finos, y Barrow dice que ese límite se consigue con una resta: la primitiva en el extremo de arriba menos la…
7.6 Áreas de regionesEl área entre dos curvas es la integral de la de arriba menos la de abajo. Casi todo el trabajo está antes de integrar: encontrar los cortes, decidir quién está arriba en cada…
7.7 Ecuaciones diferenciales de variables separablesUna ecuación diferencial no busca un número: busca una función, que aparece junto con su derivada. Las de variables separables se resuelven llevando todo lo de y de un lado y todo…
7.8 Modelos con ecuaciones diferenciales: decaimiento y enfriamientoDos leyes con la misma idea: lo que cambia es proporcional a lo que hay (los átomos que quedan) o a lo que falta (la diferencia con el ambiente). Las dos se resuelven separando…

Unidad 8 — Sistemas de ecuaciones lineales

8.1 Soluciones de un sistema y sistemas escalonadosUna solución de un sistema es un punto de ℝⁿ que cumple todas las ecuaciones a la vez. Si el sistema ya está escalonado se resuelve de abajo hacia arriba, y las incógnitas que no…
8.2 Método de Gauss, rango y clasificaciónGauss es escalonar sin cambiar las soluciones: se opera con las filas de la matriz ampliada hasta que quede una escalera. Ahí se leen dos números, el rango de A y el de (A|b), y…
8.3 Sistemas con condiciones extra y problemasUna condición extra es una ecuación más: se agrega al sistema y se resuelve todo junto. Un problema con varias cantidades desconocidas se traduce en un sistema, con una incógnita…
8.4 Sistemas con parámetrosCon un parámetro k adentro se escalona igual que siempre, pero sin dividir nunca por algo que pueda ser 0. Todo se decide en el último escalón: si su coeficiente no se anula hay…

Unidad 9 — Matrices y determinantes

9.1 Matrices: notación, tipos, suma y traspuestaUna matriz es una tabla de números con nombre y dirección: a_ij vive en la fila i y la columna j, siempre en ese orden. Se suman lugar por lugar, se multiplican por un número…
9.2 Producto de matrices y la forma A·x = bEl producto de matrices es fila por columna: el lugar (i, j) de A·B sale de multiplicar la fila i de A por la columna j de B, término a término, y sumar. Sólo existe si las…
9.3 Matrices como modelo: tablas y grafosUna tabla de datos es una matriz, y el producto hace las cuentas que uno haría a mano: multiplicar por una columna de unos suma cada fila, por una columna de precios da lo…
9.4 Matriz inversaLa inversa de A es la matriz que deshace lo que hace A: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Sólo la pueden tener las cuadradas, y no todas la tienen. Se calcula escalonando [A | I] hasta que a la…
9.5 Determinantes, sus propiedades y los sistemasEl determinante es un número que se le calcula a una matriz cuadrada y que decide todo de un saque: si es distinto de 0 la matriz es inversible y el sistema tiene solución única…

Unidad 10 — Geometría

10.1 Vectores y rectas en el planoUn punto del plano es también una flecha que sale del origen, y con flechas se suma, se resta y se multiplica por números. Una recta es un punto de partida más todos los múltiplos…
10.2 Vectores en ℝ³: productos escalar, vectorial y mixtoEn el espacio un punto tiene tres coordenadas y todo lo del plano sigue valiendo. Aparece una operación nueva, el producto vectorial, que fabrica un vector perpendicular a otros…
10.3 Rectas en ℝ³ y posiciones relativasEn el espacio una recta se sigue escribiendo como un punto más los múltiplos de una dirección, pero ya no alcanza con una sola ecuación implícita. Y aparece una posición que en el…
10.4 Planos en ℝ³Un plano se describe con un punto y dos direcciones que no sean paralelas, o con una sola ecuación ax + by + cz = d. Las dos formas se conectan por el producto vectorial: las…
10.5 Intersecciones en ℝ³Cortar dos planos, o una recta con un plano, es resolver un sistema. Dos planos no paralelos se cortan en una recta cuya dirección es el producto vectorial de las normales; una…

Unidad 11 — Combinatoria y probabilidad

11.1 Contar por casilleros: regla del producto, de la suma y el complementoPara contar sin hacer la lista, partí la elección en etapas: si cada etapa tiene sus opciones y no dependen de lo que salió antes, se multiplican. Si el conteo se parte en casos…
11.2 Ordenar: permutaciones, variaciones y anagramasOrdenar n cosas distintas es llenar n casilleros sin repetir: n · (n − 1) · … · 1 = n!. Si sólo se ocupan k lugares, se corta el producto a los k primeros. Los que tienen que ir…
11.3 Elegir sin orden: combinacionesCuando se elige un grupo y no importa en qué orden salen sus miembros, contar con casilleros cuenta cada grupo k! veces, una por cada orden. Por eso se divide: el número…
11.4 Probabilidad clásica: casos favorables sobre casos posiblesSi todos los resultados de un experimento tienen la misma chance, la probabilidad de un suceso es la fracción de resultados que lo cumplen: favorables sobre posibles. Todo el…
11.5 Probabilidad con extracciones y conteoCuando se sacan varias cosas sin devolverlas, hay dos caminos que dan lo mismo: contar grupos (combinatorio arriba y abajo) o seguir el árbol, multiplicando probabilidades que…

Parciales modelo, resueltos

Están escritos por nosotros con el temario y el formato de los que se toman. Los podés leer resueltos, o rendirlos sin corrección hasta entregarlos, como el de verdad.

Primer parcial resuelto paso a paso5 ejercicios · 25 preguntas · 120 minutos · se aprueba con 60
Segundo parcial resuelto paso a paso5 ejercicios · 29 preguntas · 120 minutos · se aprueba con 60

Los parciales resueltos de todas las materias