Matemática (61) · Unidad 6 — Estudio de funciones y optimización
Estudio completo de polinomios y racionales
Estudiar una función es juntar en un gráfico todo lo que dicen el dominio, el signo de f′ y los límites. En un polinomio mandan el grado y el coeficiente principal; en una racional, además, los ceros del denominador y las asíntotas.
La explicación
Qué quiere decir «estudio completo»
Es una lista fija, y conviene hacerla siempre en el mismo orden:
2. Derivada, factorizada. Sin factorizar no se lee el signo.
3. Puntos críticos: los x del dominio donde f ′ = 0.
4. Cuadro de signos de f ′, marcando los críticos y los puntos fuera del dominio.
5. Extremos relativos por cambio de signo, con su valor f(xc).
6. Límites y asíntotas: en los puntos fuera del dominio y en ±∞.
7. Gráfico aproximado con todo lo anterior.
Polinomios
El comportamiento en ±∞ lo decide el término de mayor grado: 3x⁴ − 5x³ + … se comporta como 3x⁴, que va a +∞ de los dos lados. Con grado impar y coeficiente positivo, va a −∞ a la izquierda y a +∞ a la derecha. Los polinomios no tienen asíntotas.
Un polinomio puede no tener extremos. Si f ′ no cambia nunca de signo, f es siempre creciente o siempre decreciente. Pasa, por ejemplo, cuando f ′ es una suma de potencias pares con coeficientes positivos, como 15x⁴ + 6x² + 1, que nunca se anula. O cuando se anula sólo en un cero doble.
Un crítico con un factor al cuadrado no es extremo. Si f ′ = 4x²(x − 3), el cero de x = 0 no cambia el signo: la tangente se acuesta y la función sigue igual.
Racionales: el denominador parte todo
En f = P/Q, los ceros de Q quedan fuera del dominio y también parten el cuadro de signos, aunque no sean críticos. La derivada, por la regla del cociente, tiene denominador Q², que es positivo donde existe: el signo de f ′ lo decide sólo el numerador.
Las asíntotas de una racional
Verticales: en cada x = a donde Q(a) = 0 y P(a) ≠ 0, el cociente tiende a ±∞. Si P(a) también es 0, hay que calcular el límite: puede ser un agujero.
Horizontales, comparando grados:
grado P = grado Q → y = cociente de los principales
grado P > grado Q → no hay horizontal
En el tercer caso f va a ±∞, y el gráfico se va alejando del eje x. En una racional, la horizontal es la misma de los dos lados.
Un parámetro en la función
Si te piden k para que f tenga un punto crítico en x0, se deriva con la k adentro, se plantea f ′(x0) = 0 y se despeja. Después, con ese k, se hace el estudio de siempre: aparecen los demás críticos y se clasifican.
Cuadro de signos que entre en una hoja
No hace falta evaluar f ′ en cada intervalo: si está factorizada, alcanza con saber el signo de cada factor. Un factor (x − a) es negativo a la izquierda de a y positivo a la derecha; un cuadrado es siempre positivo; un denominador al cuadrado, también.
El control que conviene hacer siempre
Chequeá que el gráfico que armaste sea posible: entre dos máximos tiene que haber un mínimo, salvo que haya una asíntota en el medio. En una racional pasa algo que sorprende: un máximo relativo puede valer menos que un mínimo relativo, si están en ramas distintas separadas por la asíntota. No es un error: es lo que tiene que pasar cuando las dos ramas se van a infinitos opuestos.
Sea f(x) = x⁴ − 4x³ + 10. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos relativos y los límites en +∞ y en −∞.
Dominio: ℝ, es un polinomio.
Derivada factorizada:
Críticos: x = 0 (del factor x², doble) y x = 3.
Signos: 4x² es positivo salvo en 0, así que el signo de f ′ es el de (x − 3).
f decrece en (−∞ ; 3) y crece en (3 ; +∞). El 0 no corta el decrecimiento.
Extremos: en 3, f ′ pasa de − a +: mínimo relativo, que vale f(3) = 81 − 108 + 10 = −17. En 0, f ′ no cambia de signo: no es extremo, es un punto de tangente horizontal en medio de la bajada.
Límites: manda x⁴, así que f → +∞ en +∞ y en −∞.
El gráfico: baja desde +∞, se acuesta un instante en (0, 10), sigue bajando hasta (3, −17) y vuelve a subir. Ese mínimo es además el más bajo de todo el gráfico.
Control: f(2,9) ≈ −16,83 y f(3,1) ≈ −16,81, los dos más altos que −17 ✔ Y f(−0,1) ≈ 10,0041, f(0,1) ≈ 9,9961: baja a través del 0, sin extremo ✔
Dónde se pierde el punto: ver f ′(0) = 0 y anotar un máximo en x = 0 sin mirar el signo a los dos lados.
Sea f(x) = 2x²/(x² − 9). Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas.
Dominio: x² − 9 = 0 en x = ±3, así que Dom(f) = ℝ − {−3 ; 3}.
La derivada, con el cociente:
= (4x³ − 36x − 4x³)/(x² − 9)² = −36x/(x² − 9)²
Críticos: f ′ = 0 sólo en x = 0.
Signos: el denominador es positivo, así que el signo es el de −36x: positivo para x < 0 y negativo para x > 0. Con los puntos excluidos marcados:
decrece en (0 ; 3) y en (3 ; +∞)
Extremo: en 0 pasa de + a −: máximo relativo, f(0) = 0.
Asíntotas verticales: en ±3 el numerador vale 18 ≠ 0. Por ejemplo, f → +∞ cuando x → 3⁺ y f → −∞ cuando x → 3⁻. Son x = 3 y x = −3.
Asíntota horizontal: grados iguales, cociente de principales 2/1: y = 2, de los dos lados.
Control: f(10) = 200/91 ≈ 2,20, cerca de 2 y por encima, como corresponde a una rama que baja hacia la asíntota ✔ La función es par (f(−x) = f(x)), así que el dibujo tiene que ser simétrico respecto del eje y, y lo es: máximo en el eje, asíntotas simétricas ✔
Dónde se pierde el punto: escribir «crece en (−∞ ; 0)» de corrido. El −3 está en el medio y no es del dominio: son dos intervalos.
Dónde se cae la mayoría
- Armar el cuadro de signos sin marcar los ceros del denominador, que no son críticos pero parten los intervalos.
- Dar como extremo un cero de f ′ con un factor al cuadrado.
- Poner asíntota horizontal y = 0 en una racional con numerador de grado mayor.
- Contestar la x del extremo cuando piden su valor, que es f(x).
- Creer que un máximo relativo tiene que valer más que un mínimo relativo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Estudio completo de polinomios y racionales →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La bandeja de almácigos20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 6
Estudio de funciones y optimización