Matemática (61) · Unidad 6 — Estudio de funciones y optimización
Estudio con exponenciales, logaritmos y trigonométricas
El método es el de siempre, con tres cosas que deciden el ejercicio: la exponencial nunca se anula, el logaritmo recorta el dominio, y en un intervalo trigonométrico las soluciones de f′ = 0 hay que buscarlas vuelta por vuelta.
La explicación
La exponencial: siempre positiva
eu > 0 para cualquier u. Después de derivar un producto con una exponencial casi siempre se puede sacar eu de factor común, y entonces:
Los críticos y el cuadro de signos salen del otro factor. Por ejemplo, (x·ex/2)′ = ex/2(1 + x/2), que se anula sólo en x = −2.
Los límites con exponenciales muchas veces son indeterminados. Con L'Hôpital se sabe que ex le gana a cualquier potencia: x³e−x = x³/ex → 0 en +∞. Y en −∞, x·ex → 0 también, aunque x se vaya a −∞. Eso suele dar una asíntota horizontal y = 0 de un solo lado.
El logaritmo: primero el dominio
Con ln x suelto el dominio es (0 ; +∞), y todo el estudio pasa ahí adentro: un crítico negativo se descarta, y el borde x = 0 hay que estudiarlo con un límite por derecha. Dos que conviene saber:
x·ln(x) → 0 cuando x → 0⁺ (L'Hôpital)
En el primer caso hay asíntota vertical x = 0; en el segundo, no: la curva llega al origen.
Las trigonométricas: estudio en un intervalo
Con funciones periódicas se pide el estudio en un intervalo, [0 ; 2π] o (0 ; π). La ecuación f ′ = 0 casi siempre termina en sen x = c o cos x = c, que tiene dos soluciones por vuelta (o una, si c = ±1). Hay que listarlas todas las que caen en el intervalo.
cos x = 0 en [0 ; 2π] → x = π/2 y x = 3π/2
Factor común antes de dividir. En (2 + sen²x)′ = 2 sen x·cos x, los críticos son los de sen x = 0 y los de cos x = 0. Dividir por sen x o por cos x pierde soluciones.
Las asíntotas verticales aparecen donde un denominador trigonométrico se anula: 1/sen x tiene asíntotas en x = 0, π, 2π…, y cos x / sen x (la cotangente), también. 1/cos x las tiene en π/2 + kπ. En esos puntos la función se parte, y el cuadro de signos también.
Los bordes de un intervalo cerrado se evalúan: el gráfico empieza y termina en ellos.
Un parámetro en una exponencial
Si f(x) = eu(x, k), f ′ = eu·u′, y f ′(x0) = 0 es lo mismo que u′(x0) = 0: la exponencial no aporta nada. Se despeja k de ahí.
El procedimiento
2. Derivada, con factor común la exponencial o la potencia de x que se repita.
3. Críticos: iguala a 0 cada factor que puede anularse. En trigonométricas, todas las soluciones del intervalo.
4. Cuadro de signos sobre el dominio, no sobre todo ℝ.
5. Extremos con su valor; límites en los bordes; asíntotas.
El control que conviene hacer siempre
Los valores con e y con ln se pueden estimar (e ≈ 2,72; 1/e ≈ 0,37; ln 2 ≈ 0,69): compará f en el extremo con f a los dos lados. Y fijate si el comportamiento en los bordes confirma la clasificación: si en 0⁺ la función va a +∞ y hay un único crítico, ese crítico no puede ser un máximo.
Sea f(x) = (x − 2)·eˣ. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos relativos y la asíntota horizontal.
Dominio: ℝ.
Derivada, por la regla del producto, con eˣ de factor común:
Críticos: eˣ no se anula nunca, así que f ′ = 0 sólo cuando x − 1 = 0: x = 1.
Signos: eˣ > 0, así que el signo de f ′ es el de x − 1.
Extremo: en 1 pasa de − a +: mínimo relativo, f(1) = (1 − 2)·e = −e ≈ −2,72.
Límites: en +∞ los dos factores crecen: f → +∞. En −∞ es (−∞)·0, indeterminado. Se pasa a cociente y se aplica L'Hôpital:
Asíntota horizontal y = 0, sólo en −∞.
Control: f(0,9) ≈ −2,7056 y f(1,1) ≈ −2,7037, los dos por encima de −e ≈ −2,7183 ✔ Y f(−10) ≈ −0,00054: negativa y pegada al eje, porque x − 2 < 0 ahí ✔
Dónde se pierde el punto: decir que en −∞ «da −∞ por 0 = 0» sin justificar. Es una indeterminación, y el que decide es L'Hôpital.
Sea f(x) = x + 2cos(x) en [0 ; 2π]. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos, con su valor.
Derivada: f ′(x) = 1 − 2 sen x.
Críticos: 1 − 2 sen x = 0 ⟺ sen x = 1/2. En una vuelta hay dos soluciones, simétricas respecto de π/2:
Signos: f ′ > 0 cuando sen x < 1/2, o sea en [0 ; π/6) y en (5π/6 ; 2π]; f ′ < 0 cuando sen x > 1/2, en (π/6 ; 5π/6).
decrece en (π/6 ; 5π/6)
Extremos relativos:
5π/6: de − a + → mínimo, f = 5π/6 − √3 ≈ 0,89
(Se usó cos(π/6) = √3/2 y cos(5π/6) = −√3/2.)
Los bordes: f(0) = 2 y f(2π) = 2π + 2 ≈ 8,28. El gráfico arranca en 2, sube hasta 2,26, baja hasta 0,89 y sube hasta 8,28: una recta y = x con una ondulación encima.
Control: el máximo relativo (2,26) es más chico que f(2π): en un intervalo cerrado, el mayor valor puede estar en un borde. Es lo que se estudia en el tema que sigue.
Dónde se pierde el punto: quedarse con π/6 y olvidarse de 5π/6: sen x = 1/2 tiene dos soluciones en cada vuelta.
Dónde se cae la mayoría
- Buscar críticos donde se anula la exponencial: e^u nunca vale 0.
- Armar el cuadro de signos en todo ℝ cuando el logaritmo dejó el dominio en (0 ; +∞).
- Dividir por sen x o por cos x al resolver f ′ = 0 y perder las soluciones de ese factor.
- Quedarse con una sola solución de sen x = c en una vuelta, cuando hay dos.
- Olvidarse de las asíntotas verticales de 1/sen x o de 1/cos x adentro del intervalo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Estudio con exponenciales, logaritmos y trigonométricas →Los otros temas de la unidad 6
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