Matemática (61) · Unidad 6 — Estudio de funciones y optimización
Problemas de optimización
Acá la función no viene dada: la armás vos, con una variable, usando el dato que ata las medidas entre sí. Derivar es lo último y lo más fácil; el ejercicio se gana en el planteo y en contestar lo que preguntan.
La explicación
De qué se trata
Un problema pide que algo sea lo más grande o lo más chico posible: el área cercada, la cosecha, la distancia, el producto de dos números. Hay más de una medida que se puede mover, pero un dato las ata: el alambre disponible, el área fija, la suma dada. Ese dato es la restricción.
El método
2. La función a optimizar. La que aparece en la pregunta: el área, la producción, la distancia. Al principio queda con dos variables.
3. La restricción. La que trae un número del enunciado. Se despeja una variable y se reemplaza en la función: queda una sola variable.
4. El dominio. Qué valores tienen sentido: longitudes positivas, cantidades enteras, lo que alcance el material.
5. Derivar, igualar a cero y verificar que el crítico es el máximo (o el mínimo) que se pide.
6. Contestar lo que preguntan: las dos dimensiones, el valor máximo, la cantidad de plantas.
Números
«Dos números positivos que suman 18 tales que el producto de uno por el cubo del otro sea máximo»: con x + y = 18, se despeja y = 18 − x y se maximiza P(x) = x³(18 − x). El dominio es (0 ; 18) si piden positivos. «Un número positivo más k veces su inverso», x + k/x, tiene su mínimo en x = √k.
Cercas y divisiones
Si un campo rectangular se divide con cercas paralelas a un lado, hay que contar bien cuántos tramos de cada medida se alambran. Con d divisiones paralelas al lado x, hay d + 2 tramos de largo x (los dos bordes y las divisiones) y 2 de largo y:
Si un lado está contra una pared o un río y no se cerca, ese lado se va de la cuenta.
La distancia de un punto a una curva
Para el punto de una recta o de una curva y = g(x) más cercano a P = (p, q), se minimiza la distancia entre (x, g(x)) y P. Como la raíz cuadrada crece, minimizar la distancia es lo mismo que minimizar su cuadrado, que no tiene raíz:
Con una recta, el punto hallado cumple una propiedad que sirve de control: el segmento que lo une con P es perpendicular a la recta.
Producción con rendimiento que baja
Si con 30 plantas cada una da 400 kg, y por cada planta extra cada una da 8 kg menos, con n plantas extra la producción es
una parábola que se maximiza en su vértice. Si el n óptimo no es entero, se comparan los dos enteros vecinos.
Verificar que es el que se pide
- Si la función es una parábola hacia abajo, el vértice es el máximo.
- Si no, cuadro de signos alrededor del crítico, o comparar con un valor de cada lado.
- Si el dominio es un intervalo cerrado, los bordes también compiten.
El control que conviene hacer siempre
Volvé a la restricción con los números hallados: si había 1500 m de alambre, sumá todos los tramos y tiene que dar 1500. Y probá un valor vecino: tiene que dar peor que el óptimo.
Hallar el punto de la recta y = 2x − 1 que está a menor distancia del punto P = (6, 3), y esa distancia mínima.
Planteo: un punto genérico de la recta es (x, 2x − 1). Su distancia a P tiene una raíz; conviene minimizar el cuadrado de la distancia, que tiene el mínimo en el mismo x.
Derivo e igualo a cero:
10x − 28 = 0 → x = 14/5 = 2,8
D es una parábola que abre hacia arriba, así que ese crítico es su mínimo.
El punto: y = 2·2,8 − 1 = 4,6. Es (14/5 ; 23/5), o sea (2,8 ; 4,6).
La distancia:
Control de perpendicularidad: el vector que va del punto a P es (6 − 2,8 ; 3 − 4,6) = (3,2 ; −1,6), y un vector de la recta es (1, 2). El producto escalar da 3,2 − 3,2 = 0: son perpendiculares ✔
Dónde se pierde el punto: escribir la distancia con la raíz y derivarla con la cadena: se puede, pero es más largo y el error de cuentas es casi seguro. El cuadrado tiene el mínimo en el mismo lugar.
En un monte frutal se plantan 30 durazneros por hectárea y cada uno da 400 kg por año. Por cada planta de más que se agregue por hectárea, cada planta da 8 kg menos. ¿Cuántas plantas por hectárea conviene tener para que la producción sea máxima, y cuánto se produce?
Nombrar: n = plantas que se agregan a las 30. Hay 30 + n plantas, y cada una da 400 − 8n kg.
La función a optimizar: la producción total por hectárea.
Dominio: n ≥ 0 y 400 − 8n > 0, o sea n entre 0 y 50.
Derivo:
P es una parábola hacia abajo: el vértice es el máximo.
La respuesta: 30 + 10 = 40 plantas por hectárea, que dan 400 − 80 = 320 kg cada una: 12800 kg por hectárea.
Control: con 39 plantas, 39·328 = 12792; con 41, 41·312 = 12792. Los dos vecinos dan menos ✔ Y sin agregar ninguna, 30·400 = 12000: plantar más conviene, hasta cierto punto.
Dónde se pierde el punto: contestar «10», que son las plantas que se agregan. La pregunta es cuántas tener.
Dónde se cae la mayoría
- Derivar la función a optimizar antes de reemplazar la restricción, con dos variables adentro.
- Contar mal los tramos de cerca: con d divisiones paralelas hay d + 2 tramos de esa medida, no d.
- Minimizar la distancia con la raíz adentro, cuando alcanza con minimizar su cuadrado.
- Contestar sólo la x cuando piden las dos dimensiones o el valor óptimo.
- No mirar el dominio y aceptar una medida negativa o una que agota todo el material.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Problemas de optimización →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La bandeja de almácigos20 puntos · resuelto paso a paso
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