Matemática (61) · Unidad 6 — Estudio de funciones y optimización
La derivada y la forma del gráfico
El signo de f′ dice dónde f sube y dónde baja, y los cambios de signo son los máximos y los mínimos. Con eso se lee un gráfico, se cuentan las soluciones de f(x) = c y se dibuja una función que cumpla una lista de condiciones.
La explicación
El signo de f ′ y el crecimiento
f ′ < 0 en un intervalo → f decrece ahí
f ′(x0) = 0 → tangente horizontal en x0
No se mira el signo de f, se mira el de f ′. Una función puede estar toda por debajo del eje y crecer todo el tiempo.
Máximos y mínimos relativos
Un máximo relativo en x0 es un punto donde f vale más que en todos los x cercanos; un mínimo relativo, menos. En un gráfico son los lomos y los valles. Se detectan por el cambio de signo de f ′:
f ′ pasa de − a + → mínimo relativo
f ′ no cambia de signo → no es extremo
Un cero de f ′ que no cambia el signo es un descanso: la tangente se acuesta un instante y la función sigue en la misma dirección. Pasa cuando un factor de f ′ aparece al cuadrado, como (x − 2)².
Dónde no existe la derivada
La derivada es la pendiente de la tangente, así que no existe donde el gráfico no tiene una tangente bien definida:
- Un pico (una punta): las pendientes de los dos lados no coinciden. El ejemplo de siempre es |x| en 0, y en general |g(x)| donde g cambia de signo.
- Un salto o un agujero: si f no es continua en x0, tampoco es derivable ahí.
- Una tangente vertical, como ∛x en 0.
En un pico puede haber un extremo aunque f ′ no valga 0: |x| tiene un mínimo en 0. Por eso los puntos críticos son los x del dominio donde f ′ = 0 o donde f ′ no existe.
Contar las soluciones de f(x) = c
Las soluciones de f(x) = c son los cruces del gráfico con la recta horizontal y = c. Para contarlas no hace falta resolver nada: alcanza con saber por dónde sube y baja f.
2. En cada tramo anotá entre qué valores se mueve f: los valores de los extremos y los límites en los bordes.
3. En un tramo donde f es continua y sólo sube (o sólo baja), la recta y = c se cruza a lo sumo una vez: exactamente una si c está entre los valores de los bordes.
4. Sumá los cruces de todos los tramos. Si c coincide con el valor de un extremo, ahí la recta toca en un solo punto.
Leer el gráfico de f ′ para saber cómo es f
Si lo que te dan es el gráfico de f ′, lo que importa es de qué lado del eje x está: arriba del eje, f crece; abajo, f decrece. Los cortes con el eje son los candidatos, y se clasifican viendo si f ′ cruza o sólo toca. Que f ′ esté subiendo o bajando no dice nada sobre si f crece.
Dibujar una función que cumpla condiciones
Primero se ubica lo fijo: las asíntotas (verticales como rectas punteadas, horizontales hacia cada lado) y los puntos donde f ′ = 0. Después se recorre de izquierda a derecha siguiendo el signo de f ′: subir, bajar, acercarse a cada asíntota por el lado que corresponda. Si una condición obliga a algo, como que un mínimo quede por debajo de una asíntota horizontal, eso es parte de la respuesta.
El control que conviene hacer siempre
Cada extremo tiene que estar entre un tramo de subida y uno de bajada. Si en tu cuadro aparecen dos máximos seguidos sin un mínimo en el medio, falta algo: un punto crítico, una asíntota o un punto donde f no existe.
Trazar el gráfico de una función f que cumpla a la vez: Dom(f) = ℝ − {2}; f′(x) > 0 en (−∞ ; −1) y en (2 ; 5); f′(x) < 0 en (−1 ; 2) y en (5 ; +∞); x = 2 es asíntota vertical; y = 1 es asíntota horizontal en +∞ y en −∞. Decir dónde tiene f máximos o mínimos relativos.
Lo fijo primero: una recta punteada vertical en x = 2 y una horizontal en y = 1. Los cambios de signo de f ′ están en −1 y en 5.
El recorrido, de izquierda a derecha:
2. En (−1 ; 2), f decrece: baja desde el lomo y, al acercarse a x = 2 por izquierda, se va a −∞ pegada a la asíntota.
3. En (2 ; 5), f crece: viene desde −∞ pegada a la asíntota por la derecha y sube hasta un lomo en x = 5.
4. En (5 ; +∞), f decrece: baja y se va acercando a y = 1.
Por qué los dos lados de la asíntota van a −∞: a la izquierda de 2 la función baja, así que no puede irse a +∞; a la derecha sube, así que tiene que venir desde abajo. El signo de f ′ decidió el dibujo.
Los extremos:
x = 5: f ′ pasa de + a − → máximo relativo
No hay mínimos relativos: entre los dos máximos está la asíntota, que es un punto fuera del dominio. Y el máximo de x = 5 tiene que quedar por encima de y = 1, porque después f baja hacia 1 sin llegar: si f(5) fuera menor que 1, no podría acercarse a 1 bajando.
Control: dos máximos seguidos sin un mínimo en el medio sólo es posible porque algo corta el dominio entre ellos, y acá lo corta x = 2 ✔
Dónde se pierde el punto: dibujar la rama derecha bajando desde +∞, que contradice f ′ > 0 en (2 ; 5).
Sea f(x) = x³ + 3x² − 9x. Hallar sus extremos relativos y decidir cuántas soluciones tiene la ecuación f(x) = c para c = 27, c = 10, c = −5 y c = 30. Justificar con los intervalos de crecimiento y los valores de f en sus extremos.
La derivada y sus ceros:
Es positiva afuera de las raíces y negativa entre ellas: f crece en (−∞ ; −3), decrece en (−3 ; 1) y crece en (1 ; +∞).
Los valores extremos:
mínimo relativo: f(1) = 1 + 3 − 9 = −5
Los tres tramos, con los valores que recorre f en cada uno (los límites de un polinomio de grado impar son −∞ a la izquierda y +∞ a la derecha):
[−3 ; 1]: baja de 27 a −5
[1 ; +∞): sube de −5 a +∞
Ahora se cuenta:
- c = 10 está entre −5 y 27: un cruce en cada tramo, tres soluciones.
- c = 27 es el valor del máximo: una en el tercer tramo y la del propio máximo, que toca sin cruzar. Dos soluciones.
- c = −5 es el valor del mínimo: una en el primer tramo y la del mínimo. Dos.
- c = 30 está por encima del máximo: sólo el último tramo llega. Una.
Control: f(x) − 27 = (x + 3)²(x − 3), con la raíz doble en el máximo y otra en x = 3: dos soluciones ✔
Dónde se pierde el punto: contar tres soluciones para c = 27. La recta toca el lomo en un solo punto.
Dónde se cae la mayoría
- Mirar el signo de f para decidir si crece, en lugar del signo de f ′.
- Leer el gráfico de f ′ como si fuera el de f: donde f ′ sube, f no tiene por qué subir.
- Llamar extremo a un cero de f ′ que no cambia de signo, como el de un factor al cuadrado.
- Olvidarse de los picos: en una punta f ′ no existe, y ahí puede haber un máximo o un mínimo.
- Contar las soluciones de f(x) = c sin mirar los límites en los bordes de cada tramo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar La derivada y la forma del gráfico →Los otros temas de la unidad 6
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