Matemática (61) · Unidad 5 — Derivadas y regla de L'Hôpital
La regla de L'Hôpital
Ante un 0/0 o un ∞/∞, el límite del cociente es el límite del cociente de las derivadas, derivando arriba y abajo por separado. Antes de usarla, se verifica que haya indeterminación; y a veces factorizar o racionalizar es más corto.
La explicación
El problema: 0/0 y ∞/∞
Cuando al reemplazar en un cociente arriba y abajo tienden a 0 (o los dos a ∞), el reemplazo no dice nada: el límite puede ser cualquier número, o infinito. Eso es una indeterminación, y hay que trabajar la expresión.
Primero, las herramientas de álgebra
Factorizar. Si arriba y abajo hay polinomios que se anulan en x0, los dos tienen el factor (x − x0). Se factoriza (con Ruffini si es una cúbica), se simplifica y se reemplaza.
Racionalizar. Si hay una resta con una raíz, se multiplica arriba y abajo por el conjugado. La resta de raíces se vuelve una resta de cuadrados, sin raíces:
Y aparece el factor que se simplifica.
La regla
Se derivan numerador y denominador por separado. No es la regla del cociente. La idea está en el dibujo: cerca de x0, si f y g valen 0, cada una se parece a su recta tangente, f(x) ≈ f ′(x0)(x − x0) y g(x) ≈ g′(x0)(x − x0). El (x − x0) se simplifica y queda el cociente de las pendientes.
Las dos condiciones
Que haya indeterminación. Aplicada a algo que no es 0/0 ni ∞/∞, da cualquier cosa: límx→0 (x + 2)/(x + 1) vale 2, y derivando arriba y abajo daría 1. Se verifica cada vez: si después de derivar sigue siendo 0/0, se aplica de nuevo; en cuanto deja de serlo, se reemplaza y se termina.
Que el nuevo límite exista. Si no existe, la regla no dice nada y hay que probar otro camino.
Quién crece más rápido en el infinito
Con ∞/∞ la regla ordena a las funciones que más se usan:
La exponencial le gana a cualquier potencia: x³/ex pide tres aplicaciones y termina en 6/ex → 0. Y cualquier potencia le gana al logaritmo: ln(x)/xn → 0. Hacia −∞ conviene cambiar el signo con cuidado: ex → 0 ahí, y no hay indeterminación.
0·∞: pasarlo a cociente
Un producto con un factor que va a 0 y otro a ∞ no está en la forma de la regla. Se reescribe pasando un factor abajo con su inverso:
Conviene bajar el factor que al derivarse se simplifica (1/x, un polinomio) y dejar arriba el que al derivarse queda lindo (ln x da 1/x). Si elegís mal, la regla te devuelve algo peor.
Tres usos que se piden
La asíntota vertical que no está. Que el denominador se anule en a no garantiza una asíntota: si el límite en a da un número finito, en a hay un agujero, no una asíntota. Se decide calculando el límite.
Un parámetro. Si el límite tiene una letra, se elige para que la indeterminación se mantenga (si no, el límite da infinito) y después se calcula.
La continuidad de una partida. f es continua en x0 si el límite existe y vale f(x0). Si la parte de x ≠ x0 da 0/0, L'Hôpital da ese límite, y el valor que hace falta en x0 es ése.
El control que conviene hacer siempre
Evaluá la expresión original muy cerca: con x0 + 0,001 (o con x = 1000 si va al infinito) el número tiene que estar pegado al resultado. Y si podés, calculá el límite por un segundo camino: factorizar y L'Hôpital tienen que dar lo mismo.
Calcular lím(x→2) (x³ − 3x − 2)/(x² − 4), primero factorizando y después con la regla de L'Hôpital.
Verifico la indeterminación: arriba 8 − 6 − 2 = 0, abajo 4 − 4 = 0. Es 0/0 ✔
Primer camino: factorizar. Como el numerador se anula en 2, tiene el factor (x − 2). Por Ruffini:
x² − 4 = (x − 2)(x + 2)
Se simplifica (x − 2), que es distinto de 0 mientras x → 2:
Segundo camino: L'Hôpital. Derivo arriba y abajo por separado:
Ya no es indeterminado, así que se reemplaza y se termina.
Control: los dos caminos dan lo mismo. Y en x = 2,001: (8,012006 − 6,003 − 2)/(4,004001 − 4) ≈ 0,009006/0,004001 ≈ 2,2509, pegado a 9/4 = 2,25 ✔
Dónde se pierde el punto: derivar con la regla del cociente, [(3x² − 3)(x² − 4) − (x³ − 3x − 2)·2x]/(x² − 4)², que vuelve a dar 0/0 y es mucho más larga. La regla deriva arriba y abajo cada uno por su lado.
Hallar a real para que lím(x→0) (e^(ax) − 1 − 2x)/x² sea un número real, y calcular ese número. Para ese a, ¿tiene f(x) = (e^(ax) − 1 − 2x)/x² asíntota vertical en x = 0?
Verifico: arriba e⁰ − 1 − 0 = 0, abajo 0. Es 0/0 para cualquier a, así que se puede aplicar la regla.
Primera aplicación:
Abajo tiende a 0. Arriba tiende a a − 2. Acá está la decisión:
- Si a ≠ 2, arriba queda un número distinto de 0 sobre algo que tiende a 0: el límite es infinito (con signo distinto a cada lado). No sirve.
- Si a = 2, sigue siendo 0/0 y se puede seguir.
Segunda aplicación, con a = 2:
La asíntota: con a = 2 el límite en 0 es 2, un número. Entonces en x = 0 no hay asíntota vertical: el gráfico tiene un agujero en (0, 2). Si a fuera otro, el límite sería infinito y ahí sí habría asíntota.
Control numérico: con a = 2 y x = 0,001: (e^0,002 − 1 − 0,002)/0,000001 ≈ 2,0013 ✔ Con a = 3 y x = 0,001 da ≈ 1004,5: se dispara, como se dijo.
Dónde se pierde el punto: aplicar la regla dos veces sin mirar el paso intermedio. Con cualquier a, la segunda derivada daría a²/2, y ese número es falso salvo cuando a = 2.
Dónde se cae la mayoría
- Aplicar la regla sin verificar que hay 0/0 o ∞/∞, y calcular un límite que no tiene nada que ver.
- Derivar el cociente con la regla del cociente: arriba y abajo se derivan por separado.
- Seguir aplicándola cuando ya dejó de ser indeterminado.
- Aplicarla a un 0·∞ sin pasarlo antes a cociente.
- Decir que hay asíntota vertical sólo porque el denominador se anula, sin calcular el límite.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar La regla de L'Hôpital →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La tangente horizontal y el límite que se resiste20 puntos · resuelto paso a paso
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