Matemática (61) · Unidad 5 — Derivadas y regla de L'Hôpital
La derivada: definición y reglas
La derivada es la pendiente de la recta tangente, y se calcula como el límite de la pendiente de las secantes. Ese límite se hace de verdad una vez por función sencilla; después, la tabla y cuatro reglas lo hacen por vos.
La explicación
De dónde sale: la secante que se vuelve tangente
Si querés saber cuánto crece una función entre x0 y x0 + h, calculás la pendiente de la recta que une esos dos puntos del gráfico, la secante:
A ese cociente se lo llama cociente incremental, y mide una variación promedio. Lo que casi siempre interesa es la variación en un punto: se achica h hasta que el segundo punto se pega al primero, y la secante se apoya en uno solo. Ese límite es la derivada:
f ′(x0) es la pendiente de la recta tangente al gráfico en (x0, f(x0)). Si f es una posición que depende del tiempo, esa misma pendiente es la velocidad en ese instante.
Calcularla por definición, sin miedo al 0/0
Al reemplazar h = 0 en el cociente siempre aparece 0/0. No es un error: es la señal de que hay que simplificar la h antes de tomar el límite.
2. Calculá f(x0 + h): reemplazá x por (x0 + h), con paréntesis, y desarrollá.
3. Restá. El término sin h se tiene que cancelar; si no se cancela, hay una cuenta mal.
4. Dividí por h: con un polinomio sale factor común; con una fracción, primero hay que sacar denominador común.
5. Recién ahora hacé h → 0.
Las dos familias que se piden son x² + c y k/x. En la primera, (x0 + h)² = x0² + 2x0h + h², y la c se va en la resta. En la segunda, la resta es una resta de fracciones:
y la h de arriba se simplifica con la h del cociente. Queda −k/[x0(x0 + h)], que tiende a −k/x0².
La tabla, que es ese mismo límite hecho una vez
(ex)′ = ex · (ln x)′ = 1/x
(sen x)′ = cos x · (cos x)′ = −sen x
(tg x)′ = 1/cos²x
La potencia vale para cualquier exponente, entero o fraccionario, positivo o negativo, siempre que primero escribas todo como potencia de x:
∛(x²) = x2/3 → (2/3)·x−1/3
5/x³ = 5x−3 → −15x−4
Ojo con los números sueltos: π, e², ln 3 son constantes, y su derivada es 0. La e sola no es eˣ.
Suma, constante, producto y cociente
(f·g)′ = f ′·g + f·g′
(f/g)′ = (f ′·g − f·g′) / g²
Con sumas se deriva término por término; con productos y cocientes no. Del cociente se olvidan dos cosas: que arriba hay una resta (el orden importa) y que el denominador va al cuadrado. La derivada de la tangente sale justamente de acá: tg x = sen x / cos x, y el numerador queda cos²x + sen²x = 1.
El procedimiento con las reglas
2. Mirá cuál es la última operación: suma, producto o cociente. Esa decide la regla.
3. Derivá, y recién después reemplazá el x0, siempre en f ′.
El control que conviene hacer siempre
Con una calculadora: f ′(x0) tiene que parecerse a [f(x0 + 0,001) − f(x0)] / 0,001. Si calculaste por definición, comparalo con la tabla; si usaste la tabla, con la definición. Dos caminos que dan lo mismo son la mejor prueba de que está bien.
Usando la definición, calcular la pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) = 6/x en el punto P = (3, 2), y dar la ecuación de esa recta.
Planteo: hay que armar el cociente incremental en x0 = 3 y hacer h → 0. Primero, las dos imágenes.
La resta, con denominador común:
= (6 − 6 − 2h)/(3+h) = −2h/(3+h)
El 6 se canceló, como tenía que pasar: si no se cancelara, el cociente no tendría límite finito.
El cociente incremental: se divide por h y la h de arriba se simplifica.
El límite: ahora sí se puede reemplazar h = 0.
La recta: pasa por (3, 2) con pendiente −2/3.
Control por la tabla: 6/x = 6x−1, su derivada es −6x−2 = −6/x², y en x = 3 da −6/9 = −2/3 ✔ Y la recta en x = 3 da −2 + 4 = 2, la altura de P ✔
Dónde se pierde el punto: escribir 6/(3 + h) − 6/3 y «simplificar» restando los denominadores. Las fracciones se restan con denominador común; si no, la h no se simplifica nunca.
Sean f(x) = x²·ln(x) − 4√x y g(x) = (x + 4)/(x² + 2). Calcular f′(1) y g′(1), y controlar g′(1) con un cociente incremental numérico.
Planteo: f es una resta cuyo primer término es un producto; g es un cociente. Cada una con su regla.
La derivada de f: el producto x²·ln x da dos términos, y −4√x = −4x1/2 se deriva con la potencia.
(−4x1/2)′ = −2x−1/2 = −2/√x
f ′(x) = 2x·ln x + x − 2/√x
En x = 1, con ln 1 = 0: f ′(1) = 0 + 1 − 2 = −1.
La derivada de g: con f ′·g − f·g′ arriba y el denominador al cuadrado.
= (−x² − 8x + 2) / (x² + 2)²
En x = 1: (−1 − 8 + 2)/9 = −7/9.
Control numérico: g(1) = 5/3 ≈ 1,66667 y g(1,001) ≈ 1,66589; la diferencia sobre 0,001 da ≈ −0,78, y −7/9 ≈ −0,778 ✔
Dónde se pierde el punto: en g, escribir (x + 4)·2x − (x² + 2) arriba: la resta al revés cambia el signo de todo y da +7/9.
Dónde se cae la mayoría
- Reemplazar h = 0 antes de simplificar y concluir que la derivada no existe porque da 0/0.
- Escribir f(x_0 + h) como f(x_0) + h: hay que reemplazar x por (x_0 + h) adentro de la fórmula, con paréntesis.
- Derivar una constante como π o e² y dejarla viva: su derivada es 0.
- Derivar un producto multiplicando las derivadas, o armar el cociente con la resta dada vuelta.
- Reemplazar el punto en f en vez de en f ′ cuando piden la pendiente.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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Derivadas y regla de L'Hôpital