Matemática (61) · Unidad 4 — Límites, asíntotas y continuidad
Bolzano: el signo de una continua, inecuaciones y aproximar ceros
Una función continua no puede pasar de positiva a negativa sin tocar el cero. Dicho al revés: entre dos ceros seguidos el signo no cambia. Con eso alcanza un número de prueba por tramo para saber el signo de cualquier función, resolver cualquier inecuación y encerrar un cero tanto como se quiera.
La explicación
El teorema de Bolzano
⟹ hay al menos un c en (a ; b) con f(c) = 0
Si en un extremo la función es negativa y en el otro positiva, y no se levanta el lápiz, en algún momento cruza el eje. Las dos hipótesis hacen falta: 1/x vale −1 en −1 y 1 en 1, y no tiene ningún cero, porque no es continua en 0.
La consecuencia que más se usa: el signo por tramos
Si f es continua en un intervalo y no se anula ahí, no puede cambiar de signo (si cambiara, por Bolzano tendría un cero). Entonces:
2. Esos puntos parten el dominio en tramos. En cada uno, el signo es constante.
3. Probá un número de cada tramo (o usá un valor conocido) y anotá sólo el signo.
4. C⁺ es la unión de los tramos positivos y C⁻ la de los negativos. Los ceros no van en ninguno.
Así, si te dicen que los únicos ceros de una continua son −1 y 3, y que f(0) = 2, ya sabés que f es positiva en todo (−1 ; 3).
Casos que aparecen
- Polinomios factorizados: los ceros se leen de los factores. Un factor al cuadrado, como (x − 2)², no cambia de signo al pasar por su cero: el signo de un lado y del otro de 2 es el mismo.
- Cocientes: se marcan los ceros del numerador y los del denominador (que no están en el dominio).
- Módulos: |2x + 1| − 5 se anula donde 2x + 1 = 5 o 2x + 1 = −5.
- Exponenciales: ealgo es siempre positiva, así que no aporta ceros ni cambia signos: el signo de (x − 3)ex es el de x − 3.
- Logaritmos: ln(E) es positivo si E > 1 y negativo si 0 < E < 1. Y primero, el dominio.
Inecuaciones: todo de un lado
Para resolver una inecuación se pasa todo a un lado, se arma una sola función y se mira su signo. Lo que no se hace es multiplicar por una expresión con x: si es negativa, la desigualdad se da vuelta, y no sabés cuándo lo es.
⟹ (3x + 1 − 2(x − 2))/(x − 2) ≤ 0
⟹ (x + 5)/(x − 2) ≤ 0 ⟹ [−5 ; 2)
El −5 va con corchete (ahí vale 0) y el 2 con paréntesis (no está en el dominio). Y ln(x² − 3) > 0 no se resuelve «sacando el ln»: se traduce a x² − 3 > 1.
Aproximar un cero: la bisección
2. Calculá f en el punto medio m. Quedate con la mitad donde sigue habiendo cambio de signo.
3. Cada paso divide el largo por 2. Cuando el intervalo mide L, su punto medio está a menos de L/2 del cero.
Para «error menor que 1/8» alcanza un intervalo de largo 1/4: arrancando con largo 1, son dos bisecciones, y la respuesta es el punto medio del último.
El control que conviene hacer siempre
Probá un número adentro de tu respuesta y otro afuera. Si la inecuación era f ≤ 0, el de adentro tiene que dar negativo o cero y el de afuera positivo. Y revisá los extremos uno por uno: ¿está definido? ¿vale 0?
Sea f: ℝ → ℝ continua. Sus únicos ceros son −1, 2 y 4, y se sabe que f(−3) = 5, f(0) = −2, f(3) = 1 y f(6) = −4. Hallar los conjuntos de positividad y de negatividad de f.
Los tramos. Los ceros parten la recta en cuatro intervalos. Como f es continua y no se anula adentro de ninguno, en cada uno tiene un solo signo:
Un valor por tramo, y los datos alcanzan justo:
f(0) = −2 < 0 → (−1 ; 2) negativo
f(3) = 1 > 0 → (2 ; 4) positivo
f(6) = −4 < 0 → (4 ; +∞) negativo
C⁻ = (−1 ; 2) ∪ (4 ; +∞)
Control: los signos se alternan en cada cero. No tenía por qué pasar (un cero puede no cambiar el signo), pero acá los datos lo confirman tramo por tramo.
Dónde se pierde el punto: incluir los ceros en C⁺ o en C⁻ (ahí f vale 0, no es positiva ni negativa), o suponer que el signo alterna sin mirar los datos.
Resolver las inecuaciones y dar cada conjunto solución como intervalo o unión de intervalos: a) (2x − 1)/(x + 3) ≤ 1. b) ln(x² − 8) < 0. Controlar con un valor de cada tramo.
a) Todo de un lado, sin multiplicar por x + 3:
(2x − 1 − (x + 3))/(x + 3) ≤ 0
(x − 4)/(x + 3) ≤ 0
Cero en 4, fuera del dominio en −3. Pruebo un número por tramo:
Me quedo con el tramo negativo y agrego el cero (≤): (−3 ; 4]. El −3 no, porque ahí no existe el cociente.
b) Dominio primero: x² − 8 > 0. Y ln(E) < 0 ⟺ 0 < E < 1:
x² < 9 da −3 < x < 3, y x² > 8 da |x| > 2√2 ≈ 2,83. Juntando: (−3 ; −2√2) ∪ (2√2 ; 3).
Control: x = 2,9: ln(8,41 − 8) = ln(0,41) < 0 ✔. x = 0: fuera del dominio (ln(−8)) ✔. x = 3,5: ln(4,25) > 0 ✔
Dónde se pierde el punto: en a), multiplicar por x + 3 y llegar a x ≤ 4, que mete todo (−∞ ; −3). En b), resolver x² − 8 < 1 y olvidarse del dominio.
Dónde se cae la mayoría
- Multiplicar los dos lados por un denominador con x: si es negativo la desigualdad se da vuelta, y se pierde la mitad de la solución.
- Olvidar marcar los puntos fuera del dominio al armar los tramos: el signo puede cambiar ahí sin que haya un cero.
- Creer que todo cero cambia el signo: un factor al cuadrado lo mantiene.
- Incluir en la solución de una inecuación un punto donde la función no está definida.
- En la bisección, quedarse con la mitad donde f no cambia de signo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Bolzano: el signo de una continua, inecuaciones y aproximar ceros →Los otros temas de la unidad 4
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