Matemática (61) · Unidad 4 — Límites, asíntotas y continuidad

Límites laterales y asíntotas verticales

A un punto se llega por dos lados, y lo que hace la función puede ser distinto de cada uno. Donde algún lateral se dispara hay una asíntota vertical; donde el denominador se anula pero el factor se cancela, hay un agujero y no una asíntota.

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La explicación

El límite no mira el punto: mira alrededor

lím_x→x₀ f(x) = L dice que, si x se acerca a x₀ sin llegar, f(x) se acerca a L. Lo que pase justo en x₀ no importa: puede que f ni exista ahí.

lím_x→x₀⁻: acercándose por izquierda (x < x₀)
lím_x→x₀⁺: acercándose por derecha (x > x₀)

El límite existe si y sólo si los dos laterales existen y son iguales. Si dan distinto, el límite no existe, y eso es una respuesta completa.

El 0/0 que se simplifica

Si al reemplazar queda 0/0, no es el resultado: arriba y abajo comparten un factor (x − x₀). Se factoriza, se cancela (x nunca vale x₀, así que se puede) y se reemplaza en lo que quedó:

(x² − 25)/(x − 5) = (x − 5)(x + 5)/(x − 5) = x + 5 → 10

Número sobre casi cero: una asíntota vertical

Si el numerador tiende a un número distinto de 0 y el denominador a 0, el cociente se dispara. El signo del infinito se decide con dos preguntas:

1. ¿Qué signo tiene el numerador cerca de x₀? (Es el mismo de los dos lados.)
2. ¿Qué signo tiene el denominador del lado que te preguntan? Probá un x muy cerca: x₀ − 0,01 o x₀ + 0,01.
3. Signos iguales → +∞; distintos → −∞.

Cuando algún lateral da ±∞, la recta x = x₀ es asíntota vertical.

Asíntota o agujero

1. Factorizá numerador y denominador por completo.
2. Los ceros del denominador salen del dominio: son los candidatos.
3. Simplificá los factores comunes.
4. Los ceros del denominador que sobreviven son asíntotas verticales. Los que se cancelaron son agujeros: el límite existe y es un número, pero la función sigue sin estar definida ahí.

Los laterales de las funciones de la unidad 3

e^1/x en 0: por derecha, 1/x → +∞ y e^1/x → +∞; por izquierda, 1/x → −∞ y e^1/x → 0. Una asíntota vertical de un solo lado: del otro, la curva llega mansa a 0.
tg x en π/2: por izquierda sen → 1 y cos → 0⁺: +∞. Por derecha cos → 0⁻: −∞. Lo mismo en cada π/2 + kπ.
ln x en 0⁺: → −∞. Por izquierda no se pregunta: ln no existe ahí. En general, ln(algo) → −∞ cuando algo → 0⁺, y el borde del dominio es asíntota vertical.

Todas las asíntotas de una función

Verticales, en los bordes y agujeros del dominio que no se cancelan; horizontales, mirando +∞ y −∞ por separado. Con exponenciales pueden dar distinto. Por ejemplo, 3/(1 + e^−x): en +∞, e^−x → 0 y queda 3; en −∞, e^−x → +∞ y el cociente → 0. Dos asíntotas horizontales distintas: y = 3 a la derecha e y = 0 a la izquierda.

El control que conviene hacer siempre

Evaluá en x₀ ± 0,01. Un número enorme confirma la asíntota y su signo te dice el lado; un número tranquilo, cerca del límite que calculaste, confirma el agujero.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea f(x) = (x² − 4)/(x² + x − 6). Hallar el dominio, las asíntotas verticales con sus laterales, el agujero si lo hay, y la asíntota horizontal.

Factorizo:

f(x) = (x − 2)(x + 2) / ((x − 2)(x + 3))

Dominio: el denominador se anula en 2 y en −3: Dom(f) = ℝ − {−3 ; 2}.

x = 2 se cancela: es un agujero. El límite sale de la expresión simplificada:

lím_x→2 (x + 2)/(x + 3) = 4/5

x = −3 sobrevive: asíntota vertical. El numerador simplificado, x + 2, vale −1 cerca de −3.

x → −3⁻: (−)/(−) → +∞
x → −3⁺: (−)/(+) → −∞

Horizontal: grados iguales, principales 1 y 1: y = 1.

Control numérico: f(1,99) ≈ 0,7996 y f(2,01) ≈ 0,8004, las dos cerca de 4/5 ✔. f(−3,01) = (−1,01)/(−0,01) = 101 ✔ y f(−2,99) = (−0,99)/(0,01) = −99 ✔

Dónde se pierde el punto: declarar dos asíntotas verticales, o sacar el 2 del dominio y olvidarse de decir que ahí hay un agujero con límite 4/5.

Y uno del nivel del parcial

a) Hallar el dominio y todas las asíntotas de f(x) = 4/(2 + eˣ) − 1. b) Hallar el dominio, los laterales en el punto excluido y las asíntotas de g(x) = e^(1/(x − 2)).

a) Dominio: 2 + eˣ nunca es 0 (es mayor que 2), así que Dom(f) = ℝ y no hay asíntotas verticales.

Horizontales, un lado por vez:

x → −∞: eˣ → 0, f → 4/2 − 1 = 1
x → +∞: eˣ → +∞, 4/(2 + eˣ) → 0, f → −1

Dos asíntotas horizontales distintas: y = 1 hacia la izquierda e y = −1 hacia la derecha. La curva baja de una a la otra.

b) Dominio: ℝ − {2}. Los laterales, mirando el exponente:

x → 2⁺: 1/(x − 2) → +∞, g → +∞
x → 2⁻: 1/(x − 2) → −∞, g → 0

Asíntota vertical x = 2 (alcanza con que un lateral sea infinito). Horizontal: 1/(x − 2) → 0 en los dos infinitos, así que g → e⁰ = 1: y = 1.

Control: g(2,01) = e¹⁰⁰, gigante ✔; g(1,99) = e⁻¹⁰⁰, casi 0 ✔; f(−20) ≈ 1 y f(20) ≈ −1 ✔

Dónde se pierde el punto: en a), mirar sólo +∞ y dar una asíntota; en b), decir que como un lateral da 0 «no hay asíntota».

Dónde se cae la mayoría

Declarar asíntota vertical a todo cero del denominador sin fijarse si el factor se cancela.
Dejar adentro del dominio el valor que se canceló: el límite existe, pero la función no está definida ahí.
Decidir el signo del infinito mirando sólo el denominador: el signo del numerador también cuenta.
Decir que e^(1/x) tiene los dos laterales infinitos en 0: por izquierda tiende a 0.
Dar una sola asíntota horizontal cuando +∞ y −∞ dan distinto.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — El agujero y la asíntota20 puntos · resuelto paso a paso

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